北京师范大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
2．证明上述分解唯一。
（专硕）设 $(A, B)$ 是一对 $n$ 阶方阵，现对 $A$ 和 $B$ 同时作相同初等变换，若经过若干这样的初等变换后，$(A, B)$ 化为 $(C, D)$ ，则称矩阵对 $(A, B)$ 与 $(C, D)$ 等价．证明：
若矩阵对 $\left(I_{n}, B\right)$ 和 $\left(I_{n}, D\right)$ 等价，$I_{n}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则矩阵 $B$ 和 $D$ 相似。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解等价定义
根据题目定义，矩阵对 $(I_n, B)$ 与 $(I_n, D)$ 等价，意味着存在可逆矩阵 $P$ 和 $Q$，使得对 $A=I_n$ 和 $B$ 同时进行相同的初等行变换和列变换后得到 $C=I_n$ 和 $D$。即存在可逆矩阵 $P$（行变换）和 $Q$（列变换），使得 $P I_n Q = I_n$ 且 $P B Q = D$。
提示：注意：等价定义中的初等变换是同时作用于两个矩阵的相同行和列，因此变换矩阵 $P$ 和 $Q$ 是相同的。
步骤 2/4
目标：推导 $P$ 与 $Q$ 的关系
由 $P I_n Q = I_n$，因为 $I_n$ 是单位矩阵，所以 $P Q = I_n$。这表示 $Q$ 是 $P$ 的逆矩阵，即 $Q = P^{-1}$。
公式：$P I_n Q = I_n \Rightarrow P Q = I_n$
提示：注意矩阵乘法顺序：$P I_n Q = P Q$，因为 $I_n$ 是单位矩阵。
步骤 3/4
目标：代入第二个等式
将 $Q = P^{-1}$ 代入 $P B Q = D$，得到 $P B P^{-1} = D$。
公式：$P B P^{-1} = D$
提示：代入时注意矩阵乘法不可交换，保持顺序。
步骤 4/4
目标：得出相似结论
由 $P B P^{-1} = D$ 可知，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $D = P B P^{-1}$，这正是矩阵相似的定义。因此，$B$ 与 $D$ 相似。
公式：相似定义：$B \sim D \iff \exists$ 可逆 $P$ 使得 $D = P B P^{-1}$
提示：相似要求同一个可逆矩阵 $P$ 同时作用于左乘和右乘逆，这里 $P$ 就是行变换矩阵。
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