北京师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
1．（5 分）在 $\triangle A B C$ 的三边 $A B, B C, C A$ 上分别取三点 $E, F, G$ 使得 $A E: A B=\alpha, B F: B C=\beta$ ， $C G: C A=\gamma$ ，那么 $\triangle E F G$ 与 $\triangle A B C$ 的面积之比为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立坐标系和基向量
设 $\triangle ABC$ 的面积为 $S$。以 $A$ 为原点，$\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 为基向量，记 $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b}$，$\overrightarrow{AC} = \mathbf{c}$。则 $\triangle ABC$ 的面积为 $S = \frac{1}{2} |\mathbf{b} \times \mathbf{c}|$。
公式：S = \frac{1}{2} |\mathbf{b} \times \mathbf{c}|
提示：注意基向量的选取，确保不共线。
步骤 2/6
目标：表示点E、F、G的向量
由 $AE:AB = \alpha$，得 $\overrightarrow{AE} = \alpha \mathbf{b}$。由 $BF:BC = \beta$，且 $\overrightarrow{BC} = \mathbf{c} - \mathbf{b}$，故 $\overrightarrow{BF} = \beta (\mathbf{c} - \mathbf{b})$，所以 $\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} = \mathbf{b} + \beta (\mathbf{c} - \mathbf{b}) = (1-\beta)\mathbf{b} + \beta \mathbf{c}$。由 $CG:CA = \gamma$，且 $\overrightarrow{CA} = -\mathbf{c}$，故 $\overrightarrow{CG} = \gamma (-\mathbf{c}) = -\gamma \mathbf{c}$，所以 $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CG} = \mathbf{c} - \gamma \mathbf{c} = (1-\gamma)\mathbf{c}$。
提示：注意向量的方向，$\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$。
步骤 3/6
目标：计算向量EF和EG
$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AE} = [(1-\beta)\mathbf{b} + \beta \mathbf{c}] - \alpha \mathbf{b} = (1-\alpha-\beta)\mathbf{b} + \beta \mathbf{c}$。$\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AE} = (1-\gamma)\mathbf{c} - \alpha \mathbf{b} = -\alpha \mathbf{b} + (1-\gamma)\mathbf{c}$。
提示：向量减法要小心符号。
步骤 4/6
目标：计算三角形EFG的面积
$\triangle EFG$ 的面积 $S_{EFG} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{EF} \times \overrightarrow{EG}|$。在二维中，叉积的模等于以这两个向量为边的平行四边形面积，即行列式的绝对值：$|\overrightarrow{EF} \times \overrightarrow{EG}| = |\det(\overrightarrow{EF}, \overrightarrow{EG})| \cdot |\mathbf{b} \times \mathbf{c}|$，因为 $\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$ 是基向量。
公式：S_{EFG} = \frac{1}{2} |\det(\overrightarrow{EF}, \overrightarrow{EG})| \cdot |\mathbf{b} \times \mathbf{c}|
提示：注意叉积与行列式的关系。
步骤 5/6
目标：计算行列式的值
将 $\overrightarrow{EF}$ 和 $\overrightarrow{EG}$ 的系数写成矩阵：$\begin{pmatrix} 1-\alpha-\beta & \beta \\ -\alpha & 1-\gamma \end{pmatrix}$。行列式 $\det = (1-\alpha-\beta)(1-\gamma) - \beta(-\alpha) = (1-\alpha-\beta)(1-\gamma) + \alpha\beta$。展开得 $1 - \gamma - \alpha + \alpha\gamma - \beta + \beta\gamma + \alpha\beta = 1 - \alpha - \beta - \gamma + \alpha\beta + \beta\gamma + \alpha\gamma$。
公式：\det = 1 - \alpha - \beta - \gamma + \alpha\beta + \beta\gamma + \alpha\gamma
提示：展开时注意各项符号，避免遗漏。
步骤 6/6
目标：求面积比
因此 $S_{EFG} = \frac{1}{2} |\det| \cdot |\mathbf{b} \times \mathbf{c}| = |\det| \cdot S$。由于 $\alpha, \beta, \gamma$ 通常介于0和1之间，表达式非负，故绝对值可去掉。面积比为 $\frac{S_{EFG}}{S} = 1 - \alpha - \beta - \gamma + \alpha\beta + \beta\gamma + \alpha\gamma$。
公式：\frac{S_{EFG}}{S} = 1 - \alpha - \beta - \gamma + \alpha\beta + \beta\gamma + \alpha\gamma
提示：注意比例可能使表达式为负，但通常为正，若为负则取绝对值。
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