📝 北京师范大学 2024年高等代数真题

1．（7 分）设 $f(x)$ 是实系数多项式，且 $a+b \mathrm{i}$ 是 $f(x)$ 的一个虚根，其中 $a, b$ 是实数，证明 $a-b \mathrm{i}$ 也是 $f(x)$ 的一个虚根．

2．（8 分）已知 $\sqrt{2}+\mathrm{i}$ 是方程 $x^{6}-3 x^{4}+11 x^{2}-9=0$ 的一个根，求该方程的其余根．

1．（4分）求 $a$ 的值．

2．（8 分）证明：$A$ 可对角化，并求可逆矩阵 $T$ 使得 $T^{-1} A T$ 为对角阵．

3．（8 分）设 $B$ 是一个 3 阶矩阵且满足 $A B=B A$ ，证明：$B$ 也可对角化．

1．（5 分）在 $\triangle A B C$ 的三边 $A B, B C, C A$ 上分别取三点 $E, F, G$ 使得 $A E: A B=\alpha, B F: B C=\beta$ ， $C G: C A=\gamma$ ，那么 $\triangle E F G$ 与 $\triangle A B C$ 的面积之比为 $\_\_\_\_$ ．

2．（5 分）设曲线 $a_{11} x^{2}+2 a_{12} x y+a_{22} y^{2}+2 b_{1} x+2 b_{2} y+c=0$ 为双曲线，则它的实轴和虚轴长度的平方和可以用二次曲线的不变量表达为 $\_\_\_\_$ ．

3．（5 分）双曲线 $3 x^{2}-2 y^{2}+6 x+4 y=0$ 的渐近线为 $\_\_\_\_$ ．

4．（5 分）过点 $(2,3,-4)$ 且落在曲面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=1$ 上的直线的标准方程为 $\_\_\_\_$ .

一．（10分）设矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -3 \\
0 & 2 & 1
\end{array}\right),
$$

求矩阵 $B$ 使得 $\displaystyle A+B=B A$ ．

七．（20分）填空题．

三．（15 分）假设 $A$ 是一个 $n$ 阶反对称矩阵，其主对角线右上方元素全为 1 ，求 $A$ 的秩和行列式．

二．（10 分）已知欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中一个基为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ ，其度量矩阵为

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right) .
$$

向量 $\displaystyle \beta=\alpha_{1}+2 \alpha_{2}+3 \alpha_{3}$ ，求 $\displaystyle \beta$ 长度．

八．（10 分）求过点 $\displaystyle (11,9,0)$ 与直线 $\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{4}=\frac{z-5}{3}$ 和直线 $\displaystyle \frac{x}{5}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{2}$ 都相交的直线的标准方程．

六．（20分）设矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
-2 & 0 & 0 \\
2 & a & 2 \\
3 & 1 & 1
\end{array}\right) .
$$

且 -1 是 $A$ 的一个特征值．

四．（ 15 分）设

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}=a_{1} ; \\
x_{3}+x_{4}=a_{2} ; \\
x_{1}+x_{3}=b_{1} ; \\
x_{2}+x_{4}=b_{2},
\end{array}\right.
$$

是数域 $F$ 上的线性方程组，试给出该方程组有解的充分必要条件，并在有解时求出其解．