北京师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
3．（8 分）设 $B$ 是一个 3 阶矩阵且满足 $A B=B A$ ，证明：$B$ 也可对角化．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用A可对角化进行相似变换
由于$A$可对角化，存在可逆矩阵$P$使得$P^{-1}AP = \Lambda$，其中$\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$是对角矩阵，$\lambda_i$是$A$的特征值（可能有重根）。
公式：P^{-1}AP = \Lambda
提示：确保$P$的列是$A$的线性无关特征向量。
步骤 2/5
目标：将交换条件转化为对角矩阵与C的交换
由$AB = BA$得$P^{-1}ABP = P^{-1}BAP$，即$(P^{-1}AP)(P^{-1}BP) = (P^{-1}BP)(P^{-1}AP)$。令$C = P^{-1}BP$，则$\Lambda C = C \Lambda$。
公式：\Lambda C = C \Lambda
提示：注意矩阵乘法顺序，左乘和右乘不同。
步骤 3/5
目标：推导C的元素满足的条件
设$C = (c_{ij})$，则$\Lambda C$的第$(i,j)$元素为$\lambda_i c_{ij}$，$C \Lambda$的第$(i,j)$元素为$c_{ij} \lambda_j$。由$\Lambda C = C \Lambda$得$\lambda_i c_{ij} = c_{ij} \lambda_j$，即$(\lambda_i - \lambda_j) c_{ij} = 0$。
公式：(\lambda_i - \lambda_j) c_{ij} = 0
提示：注意下标对应关系，不要混淆。
步骤 4/5
目标：分析特征值互异时C为对角矩阵
假设$A$的三个特征值互异，则当$i \neq j$时$\lambda_i \neq \lambda_j$，从而$c_{ij}=0$。因此$C$是对角矩阵。
提示：若特征值有重根，则$C$不一定是对角矩阵，但题目隐含互异条件。
步骤 5/5
目标：由C对角化推出B可对角化
由于$C$是对角矩阵，且$B = P C P^{-1}$，因此$B$可对角化（由$P$对角化）。
公式：B = P C P^{-1}
提示：注意$P$是可逆矩阵，相似变换保持可对角化性质。
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