北京师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
七．（20分）填空题．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设特征值和特征向量
设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，对应的特征向量为 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$，则 $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$。
公式：A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}
提示：特征向量不能为零向量。
步骤 2/6
目标：两边左乘A
在等式 $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$ 两边左乘 $A$，得到 $A^2\mathbf{x} = \lambda A\mathbf{x} = \lambda^2 \mathbf{x}$。
公式：A^2\mathbf{x} = \lambda^2 \mathbf{x}
提示：注意矩阵乘法顺序，左乘A。
步骤 3/6
目标：利用已知条件A^2=A
由 $A^2 = A$，得 $A^2\mathbf{x} = A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$。
公式：A^2\mathbf{x} = A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}
提示：将A^2替换为A。
步骤 4/6
目标：建立方程
结合两步结果，有 $\lambda^2 \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$，移项得 $(\lambda^2 - \lambda)\mathbf{x} = \mathbf{0}$。
公式：(\lambda^2 - \lambda)\mathbf{x} = \mathbf{0}
提示：移项时注意符号。
步骤 5/6
目标：利用特征向量非零
由于 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$，所以 $\lambda^2 - \lambda = 0$。
公式：\lambda^2 - \lambda = 0
提示：特征向量非零是重要条件。
步骤 6/6
目标：求解特征值
解方程 $\lambda^2 - \lambda = 0$，即 $\lambda(\lambda - 1)=0$，得 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = 1$。
公式：\lambda(\lambda - 1)=0
提示：不要漏解。
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