北京师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
4．（5 分）过点 $(2,3,-4)$ 且落在曲面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=1$ 上的直线的标准方程为 $\_\_\_\_$ .
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设直线参数方程
设所求直线过点 $(2,3,-4)$，方向向量为 $(l,m,n)$，则直线的参数方程为：
\[
\begin{cases}
x = 2 + lt \\
y = 3 + mt \\
z = -4 + nt
\end{cases}
\]
公式：参数方程形式
提示：方向向量不能为零向量，且参数 t 为任意实数。
步骤 2/6
目标：代入曲面方程
将参数方程代入曲面方程 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} - \frac{z^2}{16} = 1$，得：
\[
\frac{(2+lt)^2}{4} + \frac{(3+mt)^2}{9} - \frac{(-4+nt)^2}{16} = 1.
\]
提示：注意代入时符号，特别是 $z$ 的表达式。
步骤 3/6
目标：展开并整理为关于 t 的方程
展开各项：
\[
\frac{4+4lt+l^2t^2}{4} + \frac{9+6mt+m^2t^2}{9} - \frac{16-8nt+n^2t^2}{16} = 1.
\]
化简为：
\[
\left(1+lt+\frac{l^2t^2}{4}\right) + \left(1+\frac{2mt}{3}+\frac{m^2t^2}{9}\right) - \left(1-\frac{nt}{2}+\frac{n^2t^2}{16}\right) = 1.
\]
合并同类项：
\[
\left(\frac{l^2}{4}+\frac{m^2}{9}-\frac{n^2}{16}\right)t^2 + \left(l+\frac{2m}{3}+\frac{n}{2}\right)t + (1+1-1-1) = 0.
\]
常数项为 $0$，故方程化为：
\[
\left(\frac{l^2}{4}+\frac{m^2}{9}-\frac{n^2}{16}\right)t^2 + \left(l+\frac{2m}{3}+\frac{n}{2}\right)t = 0.
\]
提示：展开时注意分数运算，常数项计算要仔细。
步骤 4/6
目标：利用直线在曲面上得到系数为零
由于直线完全在曲面上，方程对任意 t 成立，所以 t 的各次系数必须为零：
\[
\frac{l^2}{4}+\frac{m^2}{9}-\frac{n^2}{16}=0, \quad l+\frac{2m}{3}+\frac{n}{2}=0.
\]
公式：多项式恒为零的条件
提示：注意常数项已为零，只需二次项和一次项系数为零。
步骤 5/6
目标：解方程组求方向向量
取 $l=1$（方向向量可缩放），由第二式得 $1+\frac{2m}{3}+\frac{n}{2}=0$，即 $n = -2-\frac{4m}{3}$。代入第一式：
\[
\frac{1}{4}+\frac{m^2}{9}-\frac{1}{16}\left(2+\frac{4m}{3}\right)^2=0.
\]
展开平方：$\left(2+\frac{4m}{3}\right)^2 = 4+\frac{16m}{3}+\frac{16m^2}{9}$，代入得：
\[
\frac{1}{4}+\frac{m^2}{9}-\frac{1}{16}\left(4+\frac{16m}{3}+\frac{16m^2}{9}\right)=0.
\]
化简：$\frac{1}{4}+\frac{m^2}{9}-\frac{1}{4}-\frac{m}{3}-\frac{m^2}{9}=0$，即 $-\frac{m}{3}=0$，解得 $m=0$。进而 $n=-2$。故方向向量为 $(1,0,-2)$。
提示：取 $l=1$ 是简化计算，注意方向向量可任意缩放，但需保证非零。
步骤 6/6
目标：写出直线标准方程
直线过点 $(2,3,-4)$，方向向量 $(1,0,-2)$，标准方程为：
\[
\frac{x-2}{1} = \frac{y-3}{0} = \frac{z+4}{-2}.
\]
注意 $\frac{y-3}{0}$ 表示 $y-3=0$，即 $y=3$。
公式：直线的对称式方程
提示：分母为零时，表示该坐标固定，即直线平行于该坐标轴。
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