北京师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
四．（ 15 分）设
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}=a_{1} ; \\
x_{3}+x_{4}=a_{2} ; \\
x_{1}+x_{3}=b_{1} ; \\
x_{2}+x_{4}=b_{2},
\end{array}\right.
$$
是数域 $F$ 上的线性方程组，试给出该方程组有解的充分必要条件，并在有解时求出其解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出增广矩阵
将方程组写成矩阵形式，得到增广矩阵：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 & a_1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & a_2 \\
1 & 0 & 1 & 0 & b_1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & b_2
\end{pmatrix}.
\]
提示：注意增广矩阵的最后一列是常数项，不要遗漏。
步骤 2/5
目标：化为行阶梯形
对增广矩阵进行初等行变换：
- 第3行减去第1行：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 & a_1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & a_2 \\
0 & -1 & 1 & 0 & b_1 - a_1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & b_2
\end{pmatrix}.
\]
- 交换第2行与第3行：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 & a_1 \\
0 & -1 & 1 & 0 & b_1 - a_1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & a_2 \\
0 & 1 & 0 & 1 & b_2
\end{pmatrix}.
\]
- 第4行加上第2行：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 & a_1 \\
0 & -1 & 1 & 0 & b_1 - a_1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & a_2 \\
0 & 0 & 1 & 1 & b_2 + b_1 - a_1
\end{pmatrix}.
\]
- 第4行减去第3行：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 & a_1 \\
0 & -1 & 1 & 0 & b_1 - a_1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & a_2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & b_2 + b_1 - a_1 - a_2
\end{pmatrix}.
\]
提示：行变换要逐步进行，注意符号和加减运算。
步骤 3/5
目标：推导有解条件
方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。从行阶梯形看，系数矩阵的秩为3，增广矩阵的秩也为3当且仅当最后一行常数项为0，即：
\[
b_2 + b_1 - a_1 - a_2 = 0 \quad \text{或} \quad a_1 + a_2 = b_1 + b_2.
\]
因此，有解的充分必要条件是：
\[
\boxed{a_1 + a_2 = b_1 + b_2}.
\]
公式：a_1 + a_2 = b_1 + b_2
提示：注意秩的判断：系数矩阵的秩为3，增广矩阵的秩必须也为3。
步骤 4/5
目标：化简方程组
在有解条件下，最后一行全为零，方程组等价于：
\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 = a_1, \\
-x_2 + x_3 = b_1 - a_1, \\
x_3 + x_4 = a_2.
\end{cases}
\]
提示：注意第二行是 -x_2 + x_3 = b_1 - a_1，不要写错符号。
步骤 5/5
目标：求解方程组
取自由未知量 $x_2 = t$（$t \in F$），则：
- 由第一式：$x_1 = a_1 - t$；
- 由第二式：$x_3 = b_1 - a_1 + t$；
- 由第三式：$x_4 = a_2 - x_3 = a_2 - (b_1 - a_1 + t) = a_2 - b_1 + a_1 - t$。
因此，通解为：
\[
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
a_1 \\ 0 \\ b_1 - a_1 \\ a_2 - b_1 + a_1
\end{pmatrix} + t
\begin{pmatrix}
-1 \\ 1 \\ 1 \\ -1
\end{pmatrix}, \quad t \in F.
\]
提示：自由未知量可以任意选取，但通常选 x_2 或 x_4 等。注意解向量的形式。
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