北京师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
3．（5 分）双曲线 $3 x^{2}-2 y^{2}+6 x+4 y=0$ 的渐近线为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：整理方程，准备配方
将原方程 $3x^2 - 2y^2 + 6x + 4y = 0$ 按 $x$ 和 $y$ 分组：$3(x^2 + 2x) - 2(y^2 - 2y) = 0$。
提示：注意 $y$ 项系数为 $+4y$，提取 $-2$ 后括号内为 $y^2 - 2y$，符号不要弄错。
步骤 2/6
目标：完成平方
对 $x$ 配方：$x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$；对 $y$ 配方：$y^2 - 2y = (y-1)^2 - 1$。代入得：$3[(x+1)^2 - 1] - 2[(y-1)^2 - 1] = 0$。
公式：$(x + h)^2 = x^2 + 2hx + h^2$
提示：配方时注意加上一次项系数一半的平方，再减去它。
步骤 3/6
目标：化简为标准形式
展开并整理：$3(x+1)^2 - 3 - 2(y-1)^2 + 2 = 0$，即 $3(x+1)^2 - 2(y-1)^2 = 1$。两边除以 $1$ 得标准形式：$\frac{(x+1)^2}{\frac{1}{3}} - \frac{(y-1)^2}{\frac{1}{2}} = 1$。
提示：常数项移到右边后，确保右边为 $1$，且分母为正。
步骤 4/6
目标：确定参数 $a$ 和 $b$
由标准形式 $\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ 得 $h = -1$，$k = 1$，$a^2 = \frac{1}{3}$，$b^2 = \frac{1}{2}$，所以 $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$，$b = \frac{1}{\sqrt{2}}$。
提示：注意 $a$ 和 $b$ 是正数，开方时取正值。
步骤 5/6
目标：计算渐近线斜率
渐近线斜率为 $\pm \frac{b}{a}$。计算 $\frac{b}{a} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$。
公式：渐近线斜率 $\pm \frac{b}{a}$
提示：注意 $\frac{b}{a}$ 不要写成 $\frac{a}{b}$。
步骤 6/6
目标：写出渐近线方程
中心为 $(-1, 1)$，渐近线方程为 $y - 1 = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} (x + 1)$，即 $y = 1 \pm \sqrt{\frac{3}{2}} (x + 1)$。
公式：渐近线方程 $y - k = \pm \frac{b}{a}(x - h)$
提示：注意中心坐标 $h=-1$，$k=1$，代入时 $x-h$ 为 $x+1$。
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