北京师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
八．（10 分）求过点 $\displaystyle (11,9,0)$ 与直线 $\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{4}=\frac{z-5}{3}$ 和直线 $\displaystyle \frac{x}{5}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{2}$ 都相交的直线的标准方程．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：设定交点参数
设所求直线 $l$ 与已知直线 $l_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{4}=\frac{z-5}{3}$ 的交点为 $A$，与 $l_2: \frac{x}{5}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{2}$ 的交点为 $B$。由于 $l$ 过点 $P(11,9,0)$，且 $A,B$ 在 $l$ 上，故 $P,A,B$ 三点共线。设 $A$ 的参数为 $t$：$A=(1+2t, -3+4t, 5+3t)$；设 $B$ 的参数为 $s$：$B=(5s, 2-s, -1+2s)$。
提示：注意参数化时不要混淆直线方向向量的系数。
步骤 2/8
目标：写出向量共线条件
计算向量 $\overrightarrow{PA} = (2t-10, 4t-12, 3t+5)$，$\overrightarrow{PB} = (5s-11, -s-7, 2s-1)$。由 $\overrightarrow{PA}$ 与 $\overrightarrow{PB}$ 共线，存在实数 $\lambda$ 使得 $\overrightarrow{PA} = \lambda \overrightarrow{PB}$，得到方程组：
\begin{cases}
2t-10 = \lambda (5s-11) \\
4t-12 = \lambda (-s-7) \\
3t+5 = \lambda (2s-1)
\end{cases}
公式：向量共线条件：$\overrightarrow{PA} = \lambda \overrightarrow{PB}$
提示：注意 $\lambda$ 可能为零，但此处 $\overrightarrow{PA}$ 和 $\overrightarrow{PB}$ 均非零向量。
步骤 3/8
目标：消去参数 λ 得到方程 (1)
由前两个方程消去 $\lambda$：$\frac{2t-10}{5s-11} = \frac{4t-12}{-s-7}$。交叉相乘并整理得：
$(2t-10)(-s-7) = (4t-12)(5s-11)$
展开：$-2ts -14t +10s +70 = 20ts -44t -60s +132$
移项合并：$-22ts +30t +70s -62 = 0$
除以2：$-11ts +15t +35s -31 = 0$，即 $15t +35s -11ts = 31$。记为方程 (1)。
提示：交叉相乘时注意符号，移项要仔细。
步骤 4/8
目标：消去参数 λ 得到方程 (2)
由第一和第三方程消去 $\lambda$：$\frac{2t-10}{5s-11} = \frac{3t+5}{2s-1}$。交叉相乘并整理得：
$(2t-10)(2s-1) = (3t+5)(5s-11)$
展开：$4ts -2t -20s +10 = 15ts -33t +25s -55$
移项合并：$-11ts +31t -45s +65 = 0$，即 $31t -45s -11ts = -65$。记为方程 (2)。
提示：注意移项时符号变化，最终方程形式要正确。
步骤 5/8
目标：解方程组求 t 和 s
将方程 (1) 与 (2) 相减：(1)-(2) 得 $-16t +80s = 96$，化简得 $-t+5s=6$，即 $t=5s-6$。代入 (1)：$15(5s-6)+35s-11(5s-6)s=31$，展开得 $75s-90+35s-55s^2+66s=31$，整理得 $-55s^2+176s-121=0$，即 $55s^2-176s+121=0$。判别式 $\Delta=176^2-4\cdot55\cdot121=4356=66^2$，解得 $s=\frac{176\pm66}{110}$，即 $s_1=1$，$s_2=\frac{11}{5}$。对应 $t=5s-6$，得 $t_1=-1$，$t_2=5$。
公式：一元二次方程求根公式
提示：计算判别式时要仔细，注意系数符号。
步骤 6/8
目标：情况1：s=1, t=-1 时求直线方程
当 $s=1, t=-1$ 时，$A=(1-2, -3-4, 5-3)=(-1,-7,2)$，$B=(5,1,1)$。向量 $\overrightarrow{PA}=(-12,-16,2)$，可取方向向量 $(-6,-8,1)$。直线 $l$ 过 $P(11,9,0)$，标准方程为 $\frac{x-11}{-6}=\frac{y-9}{-8}=\frac{z}{1}$，化简为 $\frac{x-11}{6}=\frac{y-9}{8}=\frac{z}{-1}$。
公式：直线的标准方程：$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$
提示：方向向量可约去公因子，注意符号。
步骤 7/8
目标：情况2：s=11/5, t=5 时求直线方程
当 $s=\frac{11}{5}, t=5$ 时，$A=(11,17,20)$，$B=(11, -\frac{1}{5}, \frac{17}{5})$。$\overrightarrow{PA}=(0,8,20)$，可取方向向量 $(0,2,5)$。由于 $x$ 坐标不变，直线 $l$ 方程为 $x=11$，且 $\frac{y-9}{2}=\frac{z}{5}$。
公式：当方向向量分量为0时，直线方程用 $x=x_0$ 表示
提示：注意分母为零的处理，需用特殊形式。
步骤 8/8
目标：总结最终答案
所求直线有两条：
$$\frac{x-11}{6} = \frac{y-9}{8} = \frac{z}{-1} \quad \text{或} \quad \begin{cases} x=11 \\ \frac{y-9}{2} = \frac{z}{5} \end{cases}$$
提示：答案需包含两条直线，缺一不可。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。