北京师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
2．（8 分）证明：$A$ 可对角化，并求可逆矩阵 $T$ 使得 $T^{-1} A T$ 为对角阵．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求特征值
计算特征多项式 $\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-2 & -1 & 0 \\ 0 & \lambda-2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-3 \end{vmatrix} = (\lambda-2)^2(\lambda-3)$，得到特征值 $\lambda_1=2$（二重），$\lambda_2=3$。
公式：$\det(\lambda I - A) = (\lambda-2)^2(\lambda-3)$
提示：注意行列式的计算，上三角矩阵的行列式等于对角线元素乘积。
步骤 2/5
目标：判断可对角化
对于 $\lambda=2$，解 $(2I-A)x=0$：$\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$，得 $x_2=0, x_3=0$，基础解系为 $(1,0,0)^T$，几何重数为1，小于代数重数2，故 $A$ 不可对角化。
提示：几何重数等于 $\dim\ker(\lambda I - A)$，需与代数重数比较。
步骤 3/5
目标：求Jordan标准形
由于不可对角化，求Jordan标准形。对于 $\lambda=2$，考虑 $(A-2I)$ 的秩：$A-2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，秩为2，故Jordan块个数为 $3-2=1$，但代数重数为2，所以有一个2阶Jordan块。对于 $\lambda=3$，几何重数为1，有一个1阶Jordan块。因此Jordan标准形为 $J = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$。
公式：Jordan块个数 = $n - \operatorname{rank}(\lambda I - A)$
提示：注意Jordan块的大小由代数重数和几何重数共同决定。
步骤 4/5
目标：求广义特征向量
对于 $\lambda=2$，解 $(A-2I)v_1=0$ 得 $v_1=(1,0,0)^T$。再解 $(A-2I)v_2=v_1$：$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$，取 $v_2=(0,1,0)^T$。对于 $\lambda=3$，解 $(A-3I)v_3=0$：$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} v_3=0$，得 $v_3=(0,0,1)^T$。
提示：解 $(A-\lambda I)v_2 = v_1$ 时，注意方程组可能无解，需调整 $v_1$ 的选取。
步骤 5/5
目标：构造可逆矩阵T并验证
令 $T=(v_1, v_2, v_3) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，则 $T^{-1}AT = J$。由于 $T$ 是单位阵，直接计算 $AT = A$，$T^{-1}AT = A = J$，验证成立。
公式：$T^{-1}AT = J$
提示：注意 $T$ 的列向量顺序对应Jordan块中特征向量的顺序。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。