北京师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
六．（20分）设矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
-2 & 0 & 0 \\
2 & a & 2 \\
3 & 1 & 1
\end{array}\right) .
$$
且 -1 是 $A$ 的一个特征值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用特征值条件求参数a
因为-1是A的一个特征值，所以特征多项式满足\(f(-1)=0\)。计算特征多项式：
\[f(\lambda)=\det(\lambda I-A)=\det\begin{pmatrix}\lambda+2 & 0 & 0 \\ -2 & \lambda-a & -2 \\ -3 & -1 & \lambda-1\end{pmatrix}.\]
按第一行展开：
\[f(\lambda)=(\lambda+2)\det\begin{pmatrix}\lambda-a & -2 \\ -1 & \lambda-1\end{pmatrix}=(\lambda+2)[(\lambda-a)(\lambda-1)-2].\]
代入\(\lambda=-1\)：
\[f(-1)=(-1+2)[(-1-a)(-1-1)-2]=1\cdot[(-1-a)(-2)-2]=[2(1+a)-2]=2a.\]
令\(f(-1)=0\)得\(2a=0\)，所以\(a=0\)。
公式：特征多项式定义：\(f(\lambda)=\det(\lambda I-A)\)
提示：注意行列式展开时符号的处理，以及代入特征值后正确化简。
步骤 2/6
目标：写出矩阵A并求特征多项式
将\(a=0\)代入得：
\[A=\begin{pmatrix}-2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 1\end{pmatrix}.\]
特征多项式为：
\[f(\lambda)=(\lambda+2)[(\lambda-0)(\lambda-1)-2]=(\lambda+2)(\lambda^2-\lambda-2).\]
提示：代入a后注意检查矩阵元素是否正确。
步骤 3/6
目标：因式分解特征多项式求特征值
因式分解二次式：
\[\lambda^2-\lambda-2=(\lambda-2)(\lambda+1),\]
所以
\[f(\lambda)=(\lambda+2)(\lambda-2)(\lambda+1).\]
特征值为：\(\lambda_1=-2,\ \lambda_2=2,\ \lambda_3=-1\)。
公式：因式分解：\(\lambda^2-\lambda-2=(\lambda-2)(\lambda+1)\)
提示：注意因式分解的正确性，避免符号错误。
步骤 4/6
目标：求特征值-2的特征向量
解\((-2I-A)x=0\)：
\[\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ -2 & -2 & -2 \\ -3 & -1 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0.\]
由第二行：\(-2x_1-2x_2-2x_3=0\)，即\(x_1+x_2+x_3=0\)。
由第三行：\(-3x_1-x_2-3x_3=0\)，即\(3x_1+x_2+3x_3=0\)。
两式相减得\(2x_1+2x_3=0\)，即\(x_1=-x_3\)，代入第一式得\(-x_3+x_2+x_3=0\)，所以\(x_2=0\)。取\(x_3=1\)，得\(x_1=-1\)，故特征向量为\(\xi_1=(-1,0,1)^T\)。
公式：齐次线性方程组求解
提示：注意系数矩阵的构造，解方程时避免遗漏自由变量。
步骤 5/6
目标：求特征值2的特征向量
解\((2I-A)x=0\)：
\[\begin{pmatrix}4 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \\ -3 & -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0.\]
第一行得\(4x_1=0\)，所以\(x_1=0\)。代入第二行：\(2x_2-2x_3=0\)，即\(x_2=x_3\)。第三行：\(-x_2+x_3=0\)，自动满足。取\(x_2=1\)，得\(x_3=1\)，故特征向量为\(\xi_2=(0,1,1)^T\)。
提示：注意第一行给出x1=0，避免忽略。
步骤 6/6
目标：求特征值-1的特征向量
解\((-I-A)x=0\)：
\[\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ -2 & -1 & -2 \\ -3 & -1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0.\]
第一行得\(x_1=0\)。代入第二行：\(-x_2-2x_3=0\)，即\(x_2=-2x_3\)。第三行：\(-x_2-2x_3=0\)，与第二行相同。取\(x_3=1\)，得\(x_2=-2\)，故特征向量为\(\xi_3=(0,-2,1)^T\)。
提示：注意第三行与第二行线性相关，只需解一个方程。
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