北京师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
1．（7 分）设 $f(x)$ 是实系数多项式，且 $a+b \mathrm{i}$ 是 $f(x)$ 的一个虚根，其中 $a, b$ 是实数，证明 $a-b \mathrm{i}$ 也是 $f(x)$ 的一个虚根．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件
已知 $f(x)$ 是实系数多项式，且 $a+b\mathrm{i}$ 是 $f(x)$ 的一个虚根，即 $f(a+b\mathrm{i})=0$，其中 $a,b\in\mathbb{R}$ 且 $b\neq 0$。
提示：注意虚根的条件：$b\neq 0$，否则为实根。
步骤 2/5
目标：回忆共轭性质
对于实系数多项式 $f(x)=\sum_{k=0}^n c_k x^k$，其中 $c_k\in\mathbb{R}$，有共轭性质：$\overline{f(z)} = f(\overline{z})$，因为 $\overline{c_k}=c_k$。
公式：\overline{f(z)} = f(\overline{z})
提示：共轭运算与多项式求值可交换，前提是系数为实数。
步骤 3/5
目标：应用共轭于已知根
对等式 $f(a+b\mathrm{i})=0$ 两边取共轭，得到 $\overline{f(a+b\mathrm{i})} = \overline{0}=0$。
提示：注意共轭运算保持等式成立。
步骤 4/5
目标：利用共轭性质化简
由共轭性质，$\overline{f(a+b\mathrm{i})} = f(\overline{a+b\mathrm{i}}) = f(a-b\mathrm{i})$。因此 $f(a-b\mathrm{i})=0$。
公式：\overline{f(z)} = f(\overline{z})
提示：注意 $\overline{a+b\mathrm{i}} = a-b\mathrm{i}$。
步骤 5/5
目标：确认根的性质
由于 $b\neq 0$，$a-b\mathrm{i}$ 也是虚数，因此 $a-b\mathrm{i}$ 是 $f(x)$ 的一个虚根。
提示：虚根成对出现，共轭虚根也是根。
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