北京师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
二．（10 分）已知欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中一个基为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ ，其度量矩阵为
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right) .
$$
向量 $\displaystyle \beta=\alpha_{1}+2 \alpha_{2}+3 \alpha_{3}$ ，求 $\displaystyle \beta$ 长度．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出向量β在基下的坐标
已知向量 \(\beta = \alpha_1 + 2\alpha_2 + 3\alpha_3\)，因此它在基 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 下的坐标向量为 \(X = (1, 2, 3)^T\)。
提示：注意坐标的排列顺序与基的次序一致。
步骤 2/6
目标：理解度量矩阵与内积的关系
度量矩阵 \(A\) 的元素 \(A_{ij} = \langle \alpha_i, \alpha_j \rangle\)，即基向量的内积。对于任意向量 \(\xi = \sum x_i \alpha_i\) 和 \(\eta = \sum y_i \alpha_i\)，有 \(\langle \xi, \eta \rangle = X^T A Y\)，其中 \(X, Y\) 是坐标列向量。
公式：\langle \xi, \eta \rangle = X^T A Y
提示：度量矩阵是对称正定矩阵，本题中A已给出。
步骤 3/6
目标：写出向量长度的平方公式
向量 \(\beta\) 的长度的平方等于其与自身的内积：\(\|\beta\|^2 = \langle \beta, \beta \rangle = X^T A X\)。
公式：\|\beta\|^2 = X^T A X
提示：长度平方是内积的特殊情况，注意不要忘记转置。
步骤 4/6
目标：计算AX
先计算 \(A X\)：
\[
A X = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + (-1)\cdot2 + 0\cdot3 \\ (-1)\cdot1 + 2\cdot2 + 0\cdot3 \\ 0\cdot1 + 0\cdot2 + 3\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2 \\ -1+4 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix}.
\]
提示：矩阵乘法时注意行与列对应相乘，避免计算错误。
步骤 5/6
目标：计算X^T (AX)得到长度平方
再计算 \(X^T (A X)\)：
\[
X^T (A X) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix} = 1\cdot(-1) + 2\cdot3 + 3\cdot9 = -1 + 6 + 27 = 32.
\]
提示：注意是行向量乘列向量，结果为标量。
步骤 6/6
目标：开方得到长度
因此 \(\|\beta\|^2 = 32\)，所以 \(\|\beta\| = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)。
提示：长度取正值，注意化简根式。
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