北京师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
2．（8 分）已知 $\sqrt{2}+\mathrm{i}$ 是方程 $x^{6}-3 x^{4}+11 x^{2}-9=0$ 的一个根，求该方程的其余根．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用共轭复根性质得到第二个根
由于方程是实系数多项式，非实复根必成对共轭出现。已知 $\sqrt{2}+\mathrm{i}$ 是根，则其共轭 $\sqrt{2}-\mathrm{i}$ 也是根。
提示：注意实系数多项式复根共轭成对出现，不要遗漏共轭根。
步骤 2/7
目标：利用偶函数性质得到相反数根
方程只含偶次项，是偶函数，即 $f(-x)=f(x)$。因此若 $\alpha$ 是根，则 $-\alpha$ 也是根。所以 $\sqrt{2}+\mathrm{i}$ 和 $\sqrt{2}-\mathrm{i}$ 的相反数 $-\sqrt{2}-\mathrm{i}$ 和 $-\sqrt{2}+\mathrm{i}$ 也是根。
公式：f(-x)=f(x)
提示：注意偶函数性质：若多项式只含偶次项，则根成对出现互为相反数。
步骤 3/7
目标：通过变量代换降次
令 $y=x^2$，则原方程化为 $y^3-3y^2+11y-9=0$。这样将六次方程降为三次方程。
公式：y = x^2
提示：代换后注意新方程的次数，以及根与原来根的关系。
步骤 4/7
目标：计算已知根对应的y值
已知 $x=\sqrt{2}+\mathrm{i}$ 是根，则对应的 $y=(\sqrt{2}+\mathrm{i})^2 = 2 + 2\sqrt{2}\mathrm{i} -1 = 1+2\sqrt{2}\mathrm{i}$。
提示：计算复数平方时注意 $\mathrm{i}^2=-1$。
步骤 5/7
目标：利用韦达定理求实根
三次方程 $y^3-3y^2+11y-9=0$ 的三个根之和为 $3$（二次项系数相反数）。已知两个根为 $1+2\sqrt{2}\mathrm{i}$ 和 $1-2\sqrt{2}\mathrm{i}$，设第三个根为 $y_0$，则 $y_0 + (1+2\sqrt{2}\mathrm{i}) + (1-2\sqrt{2}\mathrm{i}) = 3$，解得 $y_0=1$。
公式：韦达定理：$y_1+y_2+y_3=3$
提示：注意三次方程韦达定理中根之和等于二次项系数相反数除以三次项系数。
步骤 6/7
目标：由y的根得到x的根
由 $y=1$ 得 $x^2=1$，解得 $x=\pm 1$。
提示：注意开平方得到两个根，不要遗漏负根。
步骤 7/7
目标：汇总所有根
综上，方程的六个根为：$\sqrt{2}+\mathrm{i}$，$\sqrt{2}-\mathrm{i}$，$-\sqrt{2}-\mathrm{i}$，$-\sqrt{2}+\mathrm{i}$，$1$，$-1$。
提示：确保根的数量与方程次数一致，共6个根。
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