北京师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
一．（12 分）设 $\displaystyle P=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，考虑增广矩阵 $\displaystyle B=(A, P)$ ，其中 $A$ 是 3 阶方阵．若 $B$ 经过若干次初等行变换化为
$$
\left(\begin{array}{ccc:ccc}
1 & 0 & 0 & 2 & -3 & -3 \\
0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1
\end{array}\right) .
$$
证明：$A$ 可逆，并求 $\displaystyle A^{-1}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题意与已知条件
已知 $P=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$，增广矩阵 $B=(A,P)$ 经过初等行变换化为 $C=\left(\begin{array}{ccc:ccc}1&0&0&2&-3&-3\\0&1&0&-1&2&2\\0&0&1&0&0&-1\end{array}\right)$。记 $Q=\begin{pmatrix}2&-3&-3\\-1&2&2\\0&0&-1\end{pmatrix}$，则 $C=(I_3,Q)$。
提示：注意增广矩阵的左边是 $A$，右边是 $P$，变换后左边是单位阵，右边是 $Q$。
步骤 2/7
目标：证明 $A$ 可逆
初等行变换不改变矩阵的行秩。$C$ 的前三列是单位矩阵 $I_3$，行秩为3，因此 $A$ 的行秩也为3。$A$ 是3阶方阵，行秩等于秩，故 $A$ 的秩为3，所以 $A$ 可逆。
公式：行秩 = 秩 = 3 ⇒ 可逆
提示：可逆的充要条件是秩等于阶数，这里通过行秩不变证明。
步骤 3/7
目标：建立初等行变换的矩阵关系
存在可逆矩阵 $R$（初等矩阵的乘积）使得 $R(A,P)=(I_3,Q)$，即 $RA=I_3$ 且 $RP=Q$。由 $RA=I_3$ 得 $R=A^{-1}$。
公式：$RA=I_3 \Rightarrow R=A^{-1}$
提示：注意 $R$ 是左乘，因为初等行变换相当于左乘初等矩阵。
步骤 4/7
目标：导出 $A^{-1}$ 的表达式
由 $RP=Q$ 且 $R=A^{-1}$ 得 $A^{-1}P=Q$，所以 $A^{-1}=QP^{-1}$。
公式：$A^{-1}=QP^{-1}$
提示：注意矩阵乘法顺序：$A^{-1}P=Q$ 右乘 $P^{-1}$ 得 $A^{-1}=QP^{-1}$。
步骤 5/7
目标：计算 $P^{-1}$
$P$ 是置换矩阵，交换第1、2行（或列），其逆等于自身，即 $P^{-1}=P$。验证：$P^2=I$。
公式：$P^{-1}=P$
提示：置换矩阵的逆就是其转置，这里 $P$ 对称，故 $P^{-1}=P$。
步骤 6/7
目标：计算 $A^{-1}$
代入 $Q$ 和 $P$：$A^{-1}=QP=\begin{pmatrix}2&-3&-3\\-1&2&2\\0&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$。计算乘积：第一行：$2\cdot0+(-3)\cdot1+(-3)\cdot0=-3$，$2\cdot1+(-3)\cdot0+(-3)\cdot0=2$，$2\cdot0+(-3)\cdot0+(-3)\cdot1=-3$；第二行：$-1\cdot0+2\cdot1+2\cdot0=2$，$-1\cdot1+2\cdot0+2\cdot0=-1$，$-1\cdot0+2\cdot0+2\cdot1=2$；第三行：$0\cdot0+0\cdot1+(-1)\cdot0=0$，$0\cdot1+0\cdot0+(-1)\cdot0=0$，$0\cdot0+0\cdot0+(-1)\cdot1=-1$。所以 $A^{-1}=\begin{pmatrix}-3&2&-3\\2&-1&2\\0&0&-1\end{pmatrix}$。
公式：矩阵乘法
提示：计算时注意行乘列，避免顺序错误。
步骤 7/7
目标：验证结果（可选）
可验证 $A^{-1}A=I$ 或 $AA^{-1}=I$，但题目不要求，此处省略。
提示：验证可确保正确性。
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