📝 北京师范大学 2026年高等代数真题

1．点 $P(2,-1,3)$ 关于直线 $\displaystyle L: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+2}{-2}$ 的对称点的坐标为 $\_\_\_\_$ ．

2．直线 $\displaystyle L_{1}: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{3}$ 与直线 $\displaystyle L_{2}: \frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-1}$ 之间的距离为 $\_\_\_\_$ ．

3．平面曲线 $3 x^{2}+4 x y+5 y^{2}-7 x-8 y-3=0$ 在点 $(1,1)$ 的切线方程为 $\_\_\_\_$。

4．方程 $f(x+y+z, 2 x-3 y)=0$ 表示空间中的一个柱面，其母线的单位方向向量为 $\_\_\_\_$ ．

一．（12 分）设 $\displaystyle P=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，考虑增广矩阵 $\displaystyle B=(A, P)$ ，其中 $A$ 是 3 阶方阵．若 $B$ 经过若干次初等行变换化为

$$
\left(\begin{array}{ccc:ccc}
1 & 0 & 0 & 2 & -3 & -3 \\
0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1
\end{array}\right) .
$$

证明：$A$ 可逆，并求 $\displaystyle A^{-1}$ ．

七．（20分）填空题．每题5分．

三．（15 分）设 $M$ 是秩为 $r$ 的 $m$ 阶方阵，$V$ 是全体 $\displaystyle m \times n$ 矩阵构成的线性空间，定义 $V$ 上的变换 $\displaystyle \varphi$ 为

$$
\varphi(N)=M N, N \in V
$$

证明：$\displaystyle \varphi$ 是线性变换，并求 $\displaystyle \varphi$ 的像空间的维数．

九．（13 分）设有两条异面直线 $\displaystyle L_{1}: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{0}$ 与 $\displaystyle L_{2}: \frac{x}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{2}$ ，求 $\displaystyle L_{2}$ 绕 $\displaystyle L_{1}$ 所得的旋转曲面方程．

二．（12 分）证明：$n$ 维向量空间 $\displaystyle \mathbb{F}^{n}$ 的任意一个不等于 $\displaystyle \mathbb{F}^{n}$ 的子空间都是若干个 $\displaystyle n-1$ 维子空间的交．

五．（15 分）设 $A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，若存在 $\displaystyle n \times m$ 矩阵 $G$ ，满足 $\displaystyle A G A=A$ ，则称 $G$ 为 $A$ 的一个广义逆．若 $A$为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，且满足 $\displaystyle A=P\left(\begin{array}{cc}I_{r} & O \\ O & O\end{array}\right) Q$ ，其中 $\displaystyle P, Q$ 分别是 $m$ 阶和 $n$ 阶可逆矩阵。证明：$A$ 的全部广义逆可表示为

$$
G=Q^{-1}\left(\begin{array}{cc}
I_{r} & C \\
D & F
\end{array}\right) P^{-1}
$$

其中 $\displaystyle C, D, F$ 分别是任意的 $\displaystyle r \times(m-r),(n-r) \times r,(n-r) \times(m-r)$ 矩阵．

八．（12 分）给定平面 $\displaystyle \Sigma: x+y+1=0$ ，求平行于 $\displaystyle \Sigma$ 且与直线 $\displaystyle L_{1}: \frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-5}{1}$ 及直线 $\displaystyle L_{2}: \frac{x}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+1}{0}$ 都相交的动直线形成的曲面方程．

六．（15 分）设 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), f_{4}(x) \in \mathbb{C}[x]$ ，若多项式

$$
f_{1}\left(x^{2025}\right)+x f_{2}\left(x^{2025}\right)+x^{2} f_{3}\left(x^{2025}\right)+x^{3} f_{4}\left(x^{2025}\right)
$$

可以被 $\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}$ 整除，证明：$\displaystyle f_{i}(1)=0(i=1,2,3,4)$ ．

十．（20 分）已知二次曲面方程 $\displaystyle 2 x^{2}+5 y^{2}+5 z^{2}+4 x y-4 x z-8 y z-9=0$ ，使用直角坐标变换将其化为标准方程，并判断该曲面的类型（要求写出所用的坐标变换及得到这一变换的详细过程）．

四．（16 分）设 $A$ 是如下的实对称矩阵：

$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
2 & -1 & 0 & 1 \\
-1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & -1 \\
1 & 0 & -1 & 2
\end{array}\right)
$$

证明：$A$ 为半正定矩阵，并求半正定矩阵 $B$ ，满足 $\displaystyle B^{2}=A$ ．