北京师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
七．（20分）填空题．每题5分．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明特征值的多项式性质
设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，对应的特征向量为 $\xi$，则 $A\xi = \lambda\xi$。计算 $(A^2+A+E)\xi = A^2\xi + A\xi + \xi = \lambda^2\xi + \lambda\xi + \xi = (\lambda^2+\lambda+1)\xi$，因此 $\lambda^2+\lambda+1$ 是 $A^2+A+E$ 的特征值。
公式：A\xi = \lambda\xi
提示：注意特征向量非零，且多项式作用于矩阵时，特征值对应多项式值。
步骤 2/4
目标：证明实对称矩阵幂零则必为零
由于 $A$ 是实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^TAQ = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值。由 $A^2=0$ 得 $Q^TA^2Q = (Q^TAQ)^2 = \operatorname{diag}(\lambda_1^2,\dots,\lambda_n^2)=0$，所以每个 $\lambda_i^2=0$，即 $\lambda_i=0$。因此 $Q^TAQ=0$，从而 $A=0$。
公式：Q^TAQ = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)
提示：实对称矩阵可正交对角化，且特征值均为实数。
步骤 3/4
目标：证明向量组线性无关与Gram矩阵可逆等价
必要性：若 $\alpha_1,\dots,\alpha_m$ 线性无关，则 Gram 矩阵 $G$ 正定，从而可逆。充分性：若 $G$ 可逆，则 $\det G \neq 0$。假设 $\alpha_1,\dots,\alpha_m$ 线性相关，则存在非零向量 $c=(c_1,\dots,c_m)^T$ 使得 $\sum c_i\alpha_i=0$，那么 $Gc=0$，与 $G$ 可逆矛盾。因此向量组线性无关。
公式：G = (\langle\alpha_i,\alpha_j\rangle)
提示：Gram矩阵正定当且仅当向量组线性无关；可逆是正定的必要条件。
步骤 4/4
目标：证明幂等矩阵的特征值只能是0或1
设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，对应的特征向量为 $\xi$，则 $A\xi = \lambda\xi$。由 $A^2=A$ 得 $A^2\xi = A\xi$，即 $\lambda^2\xi = \lambda\xi$，所以 $(\lambda^2-\lambda)\xi=0$。由于 $\xi\neq0$，故 $\lambda^2-\lambda=0$，解得 $\lambda=0$ 或 $\lambda=1$。
公式：A^2 = A
提示：注意特征向量非零，且幂等矩阵的特征值只有0和1。
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