北京师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
九．（13 分）设有两条异面直线 $\displaystyle L_{1}: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{0}$ 与 $\displaystyle L_{2}: \frac{x}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{2}$ ，求 $\displaystyle L_{2}$ 绕 $\displaystyle L_{1}$ 所得的旋转曲面方程．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：提取直线参数与方向向量
直线 $L_1$ 的方向向量为 $\mathbf{v}_1 = (2,1,0)$，过点 $P_1(1,-1,2)$。直线 $L_2$ 的方向向量为 $\mathbf{v}_2 = (1,-1,2)$，过点 $P_2(0,2,1)$。将 $L_2$ 写成参数形式：$\begin{cases} x_0 = t, \\ y_0 = 2 - t, \\ z_0 = 1 + 2t \end{cases}$，其中 $t$ 为参数。
提示：注意 $L_1$ 的方向向量 $\mathbf{v}_1$ 的 $z$ 分量为 0，表示直线平行于 $xOy$ 平面。
步骤 2/7
目标：计算 $L_2$ 上任意点到 $L_1$ 的距离平方
设 $M_0(t,2-t,1+2t)$ 是 $L_2$ 上的点。向量 $\overrightarrow{P_1M_0} = (t-1, 3-t, 2t-1)$。距离平方公式：$d^2 = \frac{|\overrightarrow{P_1M_0} \times \mathbf{v}_1|^2}{|\mathbf{v}_1|^2}$。计算叉积：$\overrightarrow{P_1M_0} \times \mathbf{v}_1 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ t-1 & 3-t & 2t-1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (1-2t, 4t-2, 3t-7)$。模平方：$(1-2t)^2+(4t-2)^2+(3t-7)^2 = 29t^2-62t+54$。$|\mathbf{v}_1|^2 = 5$，故 $d^2 = \frac{29t^2-62t+54}{5}$。
公式：$d^2 = \frac{|\overrightarrow{P_1M_0} \times \mathbf{v}_1|^2}{|\mathbf{v}_1|^2}$
提示：叉积计算时注意行列式符号，避免符号错误。
步骤 3/7
目标：建立旋转曲面上任意点 $M$ 到 $L_1$ 的距离表达式
设 $M(x,y,z)$ 是旋转曲面上的点，则 $M$ 到 $L_1$ 的距离平方等于 $M_0$ 到 $L_1$ 的距离平方。计算 $\overrightarrow{P_1M} = (x-1, y+1, z-2)$，叉积：$\overrightarrow{P_1M} \times \mathbf{v}_1 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x-1 & y+1 & z-2 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (2-z, 2z-4, x-2y-3)$。模平方：$(2-z)^2+(2z-4)^2+(x-2y-3)^2$。因此 $d^2 = \frac{(2-z)^2+(2z-4)^2+(x-2y-3)^2}{5}$。
公式：$d^2 = \frac{|\overrightarrow{P_1M} \times \mathbf{v}_1|^2}{5}$
提示：注意 $\overrightarrow{P_1M}$ 的坐标与 $P_1$ 的坐标对应正确。
步骤 4/7
目标：利用 $M$ 与 $M_0$ 在同一垂直于 $L_1$ 的平面建立关系
旋转时，$M$ 和 $M_0$ 位于垂直于 $L_1$ 的同一平面内，该平面法向量为 $\mathbf{v}_1$。过 $M_0$ 且垂直于 $\mathbf{v}_1$ 的平面方程为：$2(x-t) + 1(y-(2-t)) + 0(z-(1+2t)) = 0$，化简得 $2x + y - 2 = 3t$，即 $t = \frac{2x+y-2}{3}$。
公式：平面方程：$\mathbf{v}_1 \cdot (\overrightarrow{M_0M}) = 0$
提示：注意平面方程中常数项的计算，避免符号错误。
步骤 5/7
目标：代入 $t$ 并化简距离等式
将 $t = \frac{2x+y-2}{3}$ 代入距离等式：$\frac{(2-z)^2+(2z-4)^2+(x-2y-3)^2}{5} = \frac{29t^2-62t+54}{5}$。两边乘以 5 并代入 $t$：$(2-z)^2+(2z-4)^2+(x-2y-3)^2 = 29\left(\frac{2x+y-2}{3}\right)^2 - 62\left(\frac{2x+y-2}{3}\right) + 54$。左边化简：$(z-2)^2+4(z-2)^2+(x-2y-3)^2 = 5(z-2)^2+(x-2y-3)^2$。右边：$\frac{29}{9}(2x+y-2)^2 - \frac{62}{3}(2x+y-2) + 54$。两边乘以 9：$45(z-2)^2+9(x-2y-3)^2 = 29(2x+y-2)^2 - 186(2x+y-2) + 486$。
提示：注意两边乘以 9 时，右边每一项都要乘以 9，尤其是常数项。
步骤 6/7
目标：展开并整理方程
左边展开：$45(z^2-4z+4)+9(x^2-4xy+4y^2-6x+12y+9) = 45z^2-180z+180+9x^2-36xy+36y^2-54x+108y+81 = 9x^2-36xy+36y^2-54x+108y+45z^2-180z+261$。右边展开：$29(4x^2+4xy+y^2-8x-4y+4) - 372x-186y+372+486 = 116x^2+116xy+29y^2-232x-116y+116 -372x-186y+858 = 116x^2+116xy+29y^2-604x-302y+974$。移项得：$9x^2-36xy+36y^2-54x+108y+45z^2-180z+261 - (116x^2+116xy+29y^2-604x-302y+974)=0$，即 $-107x^2-152xy+7y^2+550x+410y+45z^2-180z-713=0$。乘以 -1 得：$107x^2+152xy-7y^2-550x-410y-45z^2+180z+713=0$。
提示：展开时注意合并同类项，特别是 $x^2$、$xy$、$y^2$ 项。
步骤 7/7
目标：写出最终旋转曲面方程
整理后的方程为：$107x^2+152xy-7y^2-45z^2-550x-410y+180z+713=0$。这就是 $L_2$ 绕 $L_1$ 旋转所得的旋转曲面方程。
提示：最终方程应化为最简形式，检查各项系数是否正确。
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