北京师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
二．（12 分）证明：$n$ 维向量空间 $\displaystyle \mathbb{F}^{n}$ 的任意一个不等于 $\displaystyle \mathbb{F}^{n}$ 的子空间都是若干个 $\displaystyle n-1$ 维子空间的交．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定子空间维数
设 $W$ 是 $\mathbb{F}^n$ 的任意一个真子空间，即 $W \neq \mathbb{F}^n$。令 $\dim W = k$，其中 $0 \leq k \leq n-1$。我们需要证明 $W$ 可以表示为若干个 $n-1$ 维子空间的交。
提示：注意真子空间意味着 $k < n$，且 $k$ 可能为0（零子空间）。
步骤 2/6
目标：扩充基向量
由于 $W$ 是真子空间，存在非零向量 $\alpha \in \mathbb{F}^n \setminus W$。取 $W$ 的一组基 $\alpha_1, \dots, \alpha_k$，将其扩充为 $\mathbb{F}^n$ 的一组基 $\alpha_1, \dots, \alpha_k, \beta_{k+1}, \dots, \beta_n$。
提示：扩充基时，确保新添加的向量不在 $W$ 中，且与原有基线性无关。
步骤 3/6
目标：构造 $n-1$ 维子空间
对于每个 $i = k+1, \dots, n$，考虑由 $\alpha_1, \dots, \alpha_k, \beta_{k+1}, \dots, \hat{\beta_i}, \dots, \beta_n$ 张成的子空间 $H_i$，即去掉 $\beta_i$ 后其余基向量张成的空间。显然 $\dim H_i = n-1$，且 $W \subseteq H_i$，因为 $W$ 的基都在 $H_i$ 中。
提示：注意 $\hat{\beta_i}$ 表示去掉该向量，共 $n-1$ 个向量，且它们线性无关，因此维数为 $n-1$。
步骤 4/6
目标：证明 $W$ 等于这些子空间的交
首先，$W \subseteq \bigcap_{i=k+1}^n H_i$ 是显然的。反之，任取 $x \in \bigcap_{i=k+1}^n H_i$，则 $x$ 可表示为 $x = \sum_{j=1}^k a_j \alpha_j + \sum_{j=k+1}^n b_j \beta_j$。由于 $x \in H_i$ 对每个 $i$ 成立，而 $H_i$ 中不含 $\beta_i$，因此 $b_i = 0$。所以 $x = \sum_{j=1}^k a_j \alpha_j \in W$。故 $\bigcap_{i=k+1}^n H_i \subseteq W$。因此 $W = \bigcap_{i=k+1}^n H_i$。
提示：关键：每个 $H_i$ 不包含 $\beta_i$，所以 $x$ 在交中意味着所有 $b_i=0$。
步骤 5/6
目标：处理 $k=n-1$ 的特殊情况
当 $k = n-1$ 时，$W$ 本身就是 $n-1$ 维子空间，可视为一个子空间的交（自身）。
提示：此时 $W$ 已经是 $n-1$ 维，无需构造，直接作为交即可。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上，任意真子空间都是若干个 $n-1$ 维子空间的交。证毕。
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