北京师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
三．（15 分）设 $M$ 是秩为 $r$ 的 $m$ 阶方阵，$V$ 是全体 $\displaystyle m \times n$ 矩阵构成的线性空间，定义 $V$ 上的变换 $\displaystyle \varphi$ 为
$$
\varphi(N)=M N, N \in V
$$
证明：$\displaystyle \varphi$ 是线性变换，并求 $\displaystyle \varphi$ 的像空间的维数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：验证线性变换的两个条件
对任意 $N_1, N_2 \in V$ 和 $k \in \mathbb{F}$，有
\[
\varphi(N_1+N_2) = M(N_1+N_2) = MN_1+MN_2 = \varphi(N_1)+\varphi(N_2),
\]
\[
\varphi(kN_1) = M(kN_1) = k(MN_1) = k\varphi(N_1).
\]
因此 $\varphi$ 是线性变换。
公式：\varphi(N_1+N_2)=\varphi(N_1)+\varphi(N_2), \varphi(kN_1)=k\varphi(N_1)
提示：注意矩阵乘法对加法的分配律和数乘的结合律。
步骤 2/5
目标：将M化为标准形
由于 $M$ 的秩为 $r$，存在可逆矩阵 $P, Q$ 使得
\[
M = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q,
\]
其中 $I_r$ 是 $r$ 阶单位阵。
公式：M = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q
提示：注意 $P$ 和 $Q$ 是可逆的，且 $M$ 是 $m$ 阶方阵，所以 $\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 也是 $m$ 阶方阵。
步骤 3/5
目标：代入变换表达式并化简
对任意 $N \in V$，有
\[
\varphi(N) = MN = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q N.
\]
令 $N' = QN$，由于 $Q$ 可逆，当 $N$ 取遍所有 $m \times n$ 矩阵时，$N'$ 也取遍所有 $m \times n$ 矩阵。因此
\[
\operatorname{Im}\varphi = \left\{ P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} N' \mid N' \in V \right\}.
\]
公式：\operatorname{Im}\varphi = \left\{ P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} N' \mid N' \in V \right\}
提示：注意 $N'$ 的列数仍为 $n$，行数为 $m$。
步骤 4/5
目标：分析标准形作用后的矩阵结构
将 $N'$ 分块为 $N' = \begin{pmatrix} A_{r \times n} \\ B_{(m-r) \times n} \end{pmatrix}$，则
\[
\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} N' = \begin{pmatrix} A \\ 0 \end{pmatrix}.
\]
因此像空间中的矩阵形如 $P \begin{pmatrix} A \\ 0 \end{pmatrix}$，其中 $A$ 是任意 $r \times n$ 矩阵。
公式：\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A \\ 0 \end{pmatrix}
提示：注意分块时 $A$ 的行数为 $r$，$B$ 的行数为 $m-r$。
步骤 5/5
目标：计算像空间的维数
由于 $P$ 可逆，左乘 $P$ 是 $V$ 上的可逆线性变换，因此 $\operatorname{Im}\varphi$ 的维数等于集合 $\left\{ \begin{pmatrix} A \\ 0 \end{pmatrix} \mid A \in \mathbb{F}^{r \times n} \right\}$ 的维数。而 $A$ 可以任意取，该集合的维数为 $r \times n$。故
\[
\dim \operatorname{Im}\varphi = rn.
\]
公式：\dim \operatorname{Im}\varphi = rn
提示：可逆线性变换保持维数，因此只需计算中间集合的维数。
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