北京师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
五．（15 分）设 $A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，若存在 $\displaystyle n \times m$ 矩阵 $G$ ，满足 $\displaystyle A G A=A$ ，则称 $G$ 为 $A$ 的一个广义逆．若 $A$为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，且满足 $\displaystyle A=P\left(\begin{array}{cc}I_{r} & O \\ O & O\end{array}\right) Q$ ，其中 $\displaystyle P, Q$ 分别是 $m$ 阶和 $n$ 阶可逆矩阵。证明：$A$ 的全部广义逆可表示为
$$
G=Q^{-1}\left(\begin{array}{cc}
I_{r} & C \\
D & F
\end{array}\right) P^{-1}
$$
其中 $\displaystyle C, D, F$ 分别是任意的 $\displaystyle r \times(m-r),(n-r) \times r,(n-r) \times(m-r)$ 矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定广义逆的分块形式
设 $A = P \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix} Q$，其中 $P$ 和 $Q$ 可逆。令 $G$ 是 $A$ 的任意一个广义逆，即 $AGA = A$。将 $G$ 表示为 $G = Q^{-1} \begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix} P^{-1}$，其中分块与 $A$ 一致，$X$ 为 $r \times r$，$Y$ 为 $r \times (m-r)$，$Z$ 为 $(n-r) \times r$，$W$ 为 $(n-r) \times (m-r)$。
提示：注意分块矩阵的维度要与 $A$ 匹配，$P$ 和 $Q$ 可逆保证变换可逆。
步骤 2/6
目标：计算 $AGA$ 的表达式
计算 $AGA$：
$$AGA = P \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix} Q \cdot Q^{-1} \begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix} P^{-1} \cdot P \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix} Q = P \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix} Q.$$
提示：注意 $Q Q^{-1} = I$ 和 $P^{-1} P = I$，中间乘积要按顺序计算。
步骤 3/6
目标：简化中间乘积
先计算 $\begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X & Y \\ O & O \end{pmatrix}$，再右乘 $\begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix}$ 得 $\begin{pmatrix} X & Y \\ O & O \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X & O \\ O & O \end{pmatrix}$。因此 $AGA = P \begin{pmatrix} X & O \\ O & O \end{pmatrix} Q$。
提示：分块乘法时注意零矩阵的作用，避免计算错误。
步骤 4/6
目标：利用 $AGA = A$ 得到方程
由 $AGA = A$ 得 $P \begin{pmatrix} X & O \\ O & O \end{pmatrix} Q = P \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix} Q$。左乘 $P^{-1}$，右乘 $Q^{-1}$ 得 $\begin{pmatrix} X & O \\ O & O \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix}$。
提示：注意 $P$ 和 $Q$ 可逆，所以可以消去。
步骤 5/6
目标：解出分块矩阵的条件
比较等式两边得 $X = I_r$，而 $Y$、$Z$、$W$ 无约束，可以是任意矩阵。因此 $G = Q^{-1} \begin{pmatrix} I_r & Y \\ Z & W \end{pmatrix} P^{-1}$。
提示：注意 $Y$、$Z$、$W$ 的维度分别为 $r \times (m-r)$、$(n-r) \times r$、$(n-r) \times (m-r)$。
步骤 6/6
目标：得到最终表达式
将 $Y$、$Z$、$W$ 分别记为 $C$、$D$、$F$，即得 $A$ 的全部广义逆为 $G = Q^{-1} \begin{pmatrix} I_r & C \\ D & F \end{pmatrix} P^{-1}$，其中 $C$、$D$、$F$ 分别是任意的 $r \times (m-r)$、$(n-r) \times r$、$(n-r) \times (m-r)$ 矩阵。
提示：注意 $C$、$D$、$F$ 是任意矩阵，没有其他限制。
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