北京师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．点 $P(2,-1,3)$ 关于直线 $\displaystyle L: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+2}{-2}$ 的对称点的坐标为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出直线的参数方程
直线 $L$ 的方向向量为 $\vec{s}=(1,2,-2)$，且过点 $(1,0,-2)$，因此参数方程为：
\[
\begin{cases}
x = 1 + t \\
y = 2t \\
z = -2 - 2t
\end{cases}
\]
公式：直线的参数方程
提示：注意方向向量和定点坐标的对应关系，参数t的系数是方向向量的分量。
步骤 2/6
目标：设垂足M并计算向量PM
设垂足 $M(1+t, 2t, -2-2t)$，则向量 $\overrightarrow{PM} = (1+t-2, 2t-(-1), -2-2t-3) = (t-1, 2t+1, -2t-5)$。
提示：注意点P坐标为(2,-1,3)，计算向量时用M坐标减去P坐标。
步骤 3/6
目标：利用垂直条件列方程求参数t
由于 $\overrightarrow{PM} \perp \vec{s}$，有 $\overrightarrow{PM} \cdot \vec{s} = 0$，即
\[
(t-1)\cdot1 + (2t+1)\cdot2 + (-2t-5)\cdot(-2) = 0
\]
计算得：
\[
t-1 + 4t+2 + 4t+10 = 0 \implies 9t + 11 = 0 \implies t = -\frac{11}{9}
\]
公式：向量垂直的充要条件：点积为零
提示：注意符号，特别是(-2t-5)乘以(-2)时，负负得正。
步骤 4/6
目标：求出垂足M的坐标
将 $t = -\frac{11}{9}$ 代入参数方程：
\[
x = 1 - \frac{11}{9} = -\frac{2}{9},\quad y = 2\cdot\left(-\frac{11}{9}\right) = -\frac{22}{9},\quad z = -2 - 2\cdot\left(-\frac{11}{9}\right) = -2 + \frac{22}{9} = \frac{4}{9}
\]
所以 $M\left(-\frac{2}{9}, -\frac{22}{9}, \frac{4}{9}\right)$。
提示：计算z时注意：-2 = -18/9，加上22/9得4/9。
步骤 5/6
目标：利用中点坐标公式求对称点坐标
设对称点为 $P'(x_0,y_0,z_0)$，则M是PP'的中点，有
\[
\begin{cases}
\frac{2+x_0}{2} = -\frac{2}{9} \\
\frac{-1+y_0}{2} = -\frac{22}{9} \\
\frac{3+z_0}{2} = \frac{4}{9}
\end{cases}
\]
解得：
\[
\begin{cases}
2+x_0 = -\frac{4}{9} \\
-1+y_0 = -\frac{44}{9} \\
3+z_0 = \frac{8}{9}
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
x_0 = -\frac{4}{9} - 2 = -\frac{22}{9} \\
y_0 = -\frac{44}{9} + 1 = -\frac{35}{9} \\
z_0 = \frac{8}{9} - 3 = -\frac{19}{9}
\end{cases}
\]
公式：中点坐标公式：$\frac{x_1+x_2}{2}=x_M$
提示：注意解方程时，将分数化为同分母，避免计算错误。
步骤 6/6
目标：得出对称点坐标
因此对称点坐标为 $\left(-\dfrac{22}{9}, -\dfrac{35}{9}, -\dfrac{19}{9}\right)$。
提示：最终答案应写为分数形式，不要化为小数。
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