北京师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
十．（20 分）已知二次曲面方程 $\displaystyle 2 x^{2}+5 y^{2}+5 z^{2}+4 x y-4 x z-8 y z-9=0$ ，使用直角坐标变换将其化为标准方程，并判断该曲面的类型（要求写出所用的坐标变换及得到这一变换的详细过程）．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出二次型矩阵并求特征值
给定二次曲面方程 $2x^2+5y^2+5z^2+4xy-4xz-8yz-9=0$，对应的二次型矩阵为 $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5 \end{pmatrix}$。解特征方程 $|\lambda E - A| = 0$：
$$\begin{vmatrix} \lambda-2 & -2 & 2 \\ -2 & \lambda-5 & 4 \\ 2 & 4 & \lambda-5 \end{vmatrix} = 0.$$
计算行列式得 $(\lambda-1)^2(\lambda-10)=0$，特征值为 $\lambda_1=1$（二重），$\lambda_2=10$。
公式：$|\lambda E - A| = 0$
提示：计算行列式时注意符号，避免代数错误。
步骤 2/5
目标：求特征向量
对于 $\lambda=1$，解 $(E-A)\mathbf{x}=0$：
$$\begin{pmatrix} -1 & -2 & 2 \\ -2 & -4 & 4 \\ 2 & 4 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0.$$
系数矩阵秩为1，得方程 $x+2y-2z=0$。取两个线性无关的特征向量：令 $y=1,z=0$ 得 $\boldsymbol{\alpha}_1=(-2,1,0)^T$；令 $y=0,z=1$ 得 $\boldsymbol{\alpha}_2=(2,0,1)^T$。
对于 $\lambda=10$，解 $(10E-A)\mathbf{x}=0$：
$$\begin{pmatrix} 8 & -2 & 2 \\ -2 & 5 & 4 \\ 2 & 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0.$$
化简得 $\begin{cases} 4x-y+z=0 \\ -2x+5y+4z=0 \end{cases}$，解得 $x=-\frac{1}{2}z, y=-z$，取 $z=-2$ 得 $\boldsymbol{\beta}=(1,2,-2)^T$。
公式：$(\lambda E - A)\mathbf{x}=0$
提示：对于重特征值，需确保找到两个线性无关的特征向量。
步骤 3/5
目标：正交化与单位化
将 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$ 正交化：取 $\mathbf{u}_1=\boldsymbol{\alpha}_1=(-2,1,0)^T$。
$$\mathbf{u}_2 = \boldsymbol{\alpha}_2 - \frac{\langle \boldsymbol{\alpha}_2,\mathbf{u}_1 \rangle}{\|\mathbf{u}_1\|^2} \mathbf{u}_1 = (2,0,1) - \frac{-4}{5}(-2,1,0) = \left(\frac{2}{5},\frac{4}{5},1\right).$$
单位化：
$$\mathbf{e}_1 = \frac{\mathbf{u}_1}{\|\mathbf{u}_1\|} = \frac{1}{\sqrt{5}}(-2,1,0)^T,$$
$$\mathbf{e}_2 = \frac{\mathbf{u}_2}{\|\mathbf{u}_2\|} = \frac{1}{\sqrt{45/25}}\left(\frac{2}{5},\frac{4}{5},1\right)^T = \frac{1}{3\sqrt{5}}(2,4,5)^T,$$
$$\mathbf{e}_3 = \frac{\boldsymbol{\beta}}{\|\boldsymbol{\beta}\|} = \frac{1}{3}(1,2,-2)^T.$$
公式：施密特正交化：$\mathbf{u}_k = \boldsymbol{\alpha}_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{\langle \boldsymbol{\alpha}_k,\mathbf{u}_i \rangle}{\|\mathbf{u}_i\|^2} \mathbf{u}_i$
提示：正交化时注意内积计算，单位化时不要忘记除以模长。
步骤 4/5
目标：构造正交变换矩阵
取正交矩阵 $Q = (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3) = \begin{pmatrix} -\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{2}{3\sqrt{5}} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{4}{3\sqrt{5}} & \frac{2}{3} \\ 0 & \frac{5}{3\sqrt{5}} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$。令 $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = Q \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix}$，则二次型化为 $X^2+Y^2+10Z^2$。
公式：$\mathbf{x} = Q \mathbf{X}$
提示：确保 $Q$ 是正交矩阵（列向量单位正交），且行列式为 $+1$（若为 $-1$ 则需调整符号）。
步骤 5/5
目标：写出标准方程并判断曲面类型
原方程变为 $X^2+Y^2+10Z^2-9=0$，即 $\frac{X^2}{9}+\frac{Y^2}{9}+\frac{Z^2}{9/10}=1$。该曲面为椭球面。
公式：$\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}+\frac{Z^2}{c^2}=1$
提示：注意常数项移到右边后，分母为正数，且三个分母不全相等，但均为正，故为椭球面。
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