北京师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
八．（12 分）给定平面 $\displaystyle \Sigma: x+y+1=0$ ，求平行于 $\displaystyle \Sigma$ 且与直线 $\displaystyle L_{1}: \frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-5}{1}$ 及直线 $\displaystyle L_{2}: \frac{x}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+1}{0}$ 都相交的动直线形成的曲面方程．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定动直线方向向量与平面的关系
设动直线 $L$ 的方向向量为 $\mathbf{v}=(a,b,c)$。由于 $L$ 平行于平面 $\Sigma: x+y+1=0$，故 $\mathbf{v}$ 垂直于平面法向量 $\mathbf{n}=(1,1,0)$，即 $a+b=0$，所以 $b=-a$。
公式：$a+b=0$
提示：注意平面法向量为 $(1,1,0)$，方向向量与法向量垂直时内积为0。
步骤 2/6
目标：参数化两条已知直线
直线 $L_1: \frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-5}{1}$ 的参数方程为：
$$
\begin{cases}
x=2+t_1 \\
y=-3+2t_1 \\
z=5+t_1
\end{cases}
$$
直线 $L_2: \frac{x}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+1}{0}$ 的参数方程为：
$$
\begin{cases}
x=t_2 \\
y=2+2t_2 \\
z=-1
\end{cases}
$$
提示：注意 $L_2$ 的方向向量 $z$ 分量为0，因此 $z$ 恒为 $-1$。
步骤 3/6
目标：设交点并利用方向向量条件
设 $L$ 与 $L_1$ 交于点 $P_1=(2+t_1, -3+2t_1, 5+t_1)$，与 $L_2$ 交于点 $P_2=(t_2, 2+2t_2, -1)$。则 $L$ 的方向向量 $\mathbf{v}=\overrightarrow{P_1P_2}=(t_2-t_1-2, 2t_2-2t_1+5, -t_1-6)$。由 $a+b=0$ 得：
$$
(t_2-t_1-2)+(2t_2-2t_1+5)=0 \\
3t_2-3t_1+3=0 \\
t_2=t_1-1
$$
公式：$t_2=t_1-1$
提示：代入方向向量分量时注意符号。
步骤 4/6
目标：化简方向向量并引入参数
代入 $t_2=t_1-1$ 得：
$$
\mathbf{v}=((t_1-1)-t_1-2, 2(t_1-1)-2t_1+5, -t_1-6)=(-3, 3, -t_1-6)
$$
取 $\mathbf{v}=(3,-3,t_1+6)$，令 $k=\frac{t_1+6}{3}$，则 $\mathbf{v}=(1,-1,k)$。
公式：$k=\frac{t_1+6}{3}$
提示：方向向量可缩放，因此可简化为 $(1,-1,k)$。
步骤 5/6
目标：写出动直线方程并消去参数
由 $k=\frac{t_1+6}{3}$ 得 $t_1=3k-6$，代入 $P_1$ 坐标：
$$
P_1=(3k-4, 6k-15, 3k-1)
$$
动直线 $L$ 的方程为：
$$
\frac{x-(3k-4)}{1}=\frac{y-(6k-15)}{-1}=\frac{z-(3k-1)}{k}
$$
设比值为 $t$，则 $x=3k-4+t$，$y=6k-15-t$，$z=3k-1+kt$。由前两式相加得 $x+y=9k-19$，解得 $k=\frac{x+y+19}{9}$。
公式：$k=\frac{x+y+19}{9}$
提示：注意消去 $t$ 时使用 $x+y$ 可消去 $t$。
步骤 6/6
目标：消去参数得到曲面方程
由 $t=x-(3k-4)$ 代入 $k$ 得 $t=\frac{2x-y-7}{3}$。将 $k$ 和 $t$ 代入 $z$ 表达式：
$$
z=3k-1+kt = \frac{x+y+19}{3}-1+\frac{x+y+19}{9}\cdot\frac{2x-y-7}{3}
$$
化简得：
$$
27z=9(x+y+19)-27+(x+y+19)(2x-y-7)
$$
展开并整理得：
$$
2x^2+xy-y^2+40x-17y-27z+11=0
$$
公式：$2x^2+xy-y^2+40x-17y-27z+11=0$
提示：化简时注意各项合并，避免计算错误。
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