北京师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
4．方程 $f(x+y+z, 2 x-3 y)=0$ 表示空间中的一个柱面，其母线的单位方向向量为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解柱面方程与母线方向的关系
方程 $f(x+y+z, 2x-3y)=0$ 表示空间中的柱面。柱面由一条直线（母线）沿一条曲线（准线）平行移动生成。因此，沿母线方向移动时，方程中的两个参数 $u=x+y+z$ 和 $v=2x-3y$ 应保持不变，即 $u$ 和 $v$ 为常数。
提示：注意柱面的定义：母线方向移动时，方程形式不变，即参数不变。
步骤 2/6
目标：设母线方向向量并建立条件
设母线的方向向量为 $(l,m,n)$。沿此方向移动时，坐标变化为 $(x,y,z) \to (x+lt, y+mt, z+nt)$，其中 $t$ 为参数。由于 $x+y+z$ 和 $2x-3y$ 保持不变，因此有：
\[ (x+lt)+(y+mt)+(z+nt) = x+y+z \quad \Rightarrow \quad (l+m+n)t = 0 \]
\[ 2(x+lt)-3(y+mt) = 2x-3y \quad \Rightarrow \quad (2l-3m)t = 0 \]
由于 $t$ 任意，故得方程组：
\[ l+m+n = 0 \]
\[ 2l-3m = 0 \]
公式：l+m+n=0, 2l-3m=0
提示：注意 $t$ 的系数必须为零，因为 $t$ 是变量。
步骤 3/6
目标：解方程组求方向向量分量关系
由 $2l-3m=0$ 得 $m = \frac{2}{3}l$。代入 $l+m+n=0$：
\[ l + \frac{2}{3}l + n = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{5}{3}l + n = 0 \quad \Rightarrow \quad n = -\frac{5}{3}l \]
因此方向向量可表示为 $(l, \frac{2}{3}l, -\frac{5}{3}l)$，其中 $l$ 为非零参数。
公式：m = (2/3)l, n = -(5/3)l
提示：注意 $l$ 不能为零，否则方向向量为零向量。
步骤 4/6
目标：取整数值得到方向向量
为方便，取 $l=3$，则 $m=2$，$n=-5$，得到一个方向向量 $(3,2,-5)$。
提示：取整数可简化计算，但注意方向向量不唯一，只需成比例即可。
步骤 5/6
目标：单位化方向向量
计算向量 $(3,2,-5)$ 的模：
\[ \sqrt{3^2 + 2^2 + (-5)^2} = \sqrt{9+4+25} = \sqrt{38} \]
单位方向向量为：
\[ \left( \frac{3}{\sqrt{38}}, \frac{2}{\sqrt{38}}, -\frac{5}{\sqrt{38}} \right) \]
公式：单位向量 = 原向量 / 模
提示：单位化时注意符号，分母为模长，分子保持原符号。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，母线的单位方向向量为 $\boxed{\left(\frac{3}{\sqrt{38}},\frac{2}{\sqrt{38}},-\frac{5}{\sqrt{38}}\right)}$。
提示：答案需以向量形式给出，注意括号格式。
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