北京师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
六．（15 分）设 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), f_{4}(x) \in \mathbb{C}[x]$ ，若多项式
$$
f_{1}\left(x^{2025}\right)+x f_{2}\left(x^{2025}\right)+x^{2} f_{3}\left(x^{2025}\right)+x^{3} f_{4}\left(x^{2025}\right)
$$
可以被 $\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}$ 整除，证明：$\displaystyle f_{i}(1)=0(i=1,2,3,4)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定整除条件与单位根
设 $\omega = e^{2\pi i/5}$，则 $1+x+x^2+x^3+x^4$ 的根为 $\omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4$。由于多项式 $P(x)=f_1(x^{2025})+x f_2(x^{2025})+x^2 f_3(x^{2025})+x^3 f_4(x^{2025})$ 可被 $1+x+x^2+x^3+x^4$ 整除，故 $P(\omega^k)=0$ 对 $k=1,2,3,4$ 成立。
公式：$\omega = e^{2\pi i/5}$
提示：注意 $\omega$ 是5次单位根，满足 $\omega^5=1$ 且 $\omega \neq 1$。
步骤 2/6
目标：化简 $\omega^{2025}$
计算 $\omega^{2025}$：由于 $2025 \equiv 0 \pmod{5}$，所以 $\omega^{2025} = \omega^0 = 1$。因此 $f_i(\omega^{2025}) = f_i(1)$。
公式：$\omega^{2025}=1$
提示：注意模5运算，2025能被5整除。
步骤 3/6
目标：代入根得到方程组
将 $x=\omega^k$ 代入 $P(x)$ 得：$P(\omega^k) = f_1(1) + \omega^k f_2(1) + \omega^{2k} f_3(1) + \omega^{3k} f_4(1) = 0$，其中 $k=1,2,3,4$。
公式：$f_1(1) + \omega^k f_2(1) + \omega^{2k} f_3(1) + \omega^{3k} f_4(1)=0$
提示：注意 $\omega^{3k}$ 的指数，不要写错。
步骤 4/6
目标：写出线性方程组
将 $k=1,2,3,4$ 的方程写为矩阵形式：
$$
\begin{pmatrix}
1 & \omega & \omega^2 & \omega^3 \\
1 & \omega^2 & \omega^4 & \omega^6 \\
1 & \omega^3 & \omega^6 & \omega^9 \\
1 & \omega^4 & \omega^8 & \omega^{12}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
f_1(1) \\ f_2(1) \\ f_3(1) \\ f_4(1)
\end{pmatrix}
= \mathbf{0}.
$$
提示：注意矩阵的每一行对应一个 $k$，列对应 $f_i(1)$ 的系数。
步骤 5/6
目标：判断系数矩阵可逆
系数矩阵是 Vandermonde 矩阵，其行列式为 $\prod_{1\le i
公式：$\det(V) = \prod_{1\le i
提示：Vandermonde 矩阵可逆当且仅当节点互异。
步骤 6/6
目标：推出零解
由于系数矩阵可逆，齐次线性方程组只有零解，即 $f_1(1)=f_2(1)=f_3(1)=f_4(1)=0$。
提示：注意这是唯一解，不要遗漏。
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