北京理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1、设 $A$ 为 2026 阶方阵，对角线元素均为 4 ，其余元素为 3 ，求 $r(A)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将矩阵表示为标准形式
设 $A$ 为 2026 阶方阵，对角线元素均为 4，其余元素为 3。注意到矩阵可以写成 $A = 3J + I$，其中 $J$ 是全1矩阵（所有元素为1），$I$ 是单位矩阵。因为 $J$ 的每个元素都是1，所以 $3J$ 的每个元素都是3，加上单位矩阵 $I$ 后，对角线元素变为 $3+1=4$，非对角线元素仍为3。
公式：$A = 3J + I$
提示：注意全1矩阵 $J$ 的定义：所有元素均为1。
步骤 2/6
目标：求全1矩阵的特征值
全1矩阵 $J$ 的秩为1，因此它有 $2026-1=2025$ 个特征值为0。另外，由于 $J$ 的所有行和为2026，所以有一个特征值为2026，对应的特征向量为全1向量。
公式：$\lambda_J = \begin{cases} 2026 & \text{（单重）} \\ 0 & \text{（2025重）} \end{cases}$
提示：注意特征值的重数：0的重数是2025，2026是单重。
步骤 3/6
目标：推导矩阵A的特征值
由于 $A = 3J + I$，且 $J$ 与 $I$ 可交换，所以 $A$ 的特征值可由 $J$ 的特征值通过线性变换得到：若 $\lambda$ 是 $J$ 的特征值，则 $3\lambda + 1$ 是 $A$ 的特征值。因此，$A$ 的特征值为：$3 \times 2026 + 1 = 6079$（单重），以及 $3 \times 0 + 1 = 1$（2025重）。
公式：$\lambda_A = 3\lambda_J + 1$
提示：注意单位矩阵 $I$ 的特征值全为1，但这里是通过矩阵加法得到特征值变换。
步骤 4/6
目标：判断矩阵是否可逆
矩阵可逆当且仅当所有特征值均不为0。$A$ 的特征值为6079和1，均非零，因此 $A$ 可逆。
公式：矩阵可逆 $\iff$ 所有特征值 $\neq 0$
提示：注意特征值0对应不可逆，这里没有0特征值。
步骤 5/6
目标：计算矩阵的秩
对于可逆矩阵，其秩等于阶数。$A$ 是2026阶可逆方阵，所以秩为2026。
公式：$r(A) = n$ 当 $A$ 可逆时
提示：可逆矩阵的秩等于其阶数。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，$r(A) = 2026$。
提示：注意答案是一个数字。
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