📝 北京理工大学 2026年高等代数真题

1、设 $A$ 为 2026 阶方阵，对角线元素均为 4 ，其余元素为 3 ，求 $r(A)=$ $\_\_\_\_$ ．

2、设 $A \in M_{3}(\mathbb{R})$ ，且 $A^{*}=2 A^{T}$ ，求 $|A|=$ $\_\_\_\_$ ．

3、 10 阶实对称矩阵的合同种类有 $\_\_\_\_$种？

4、设 $f(x, y, z)=x^{2}+4 y^{2}+z^{2}-4 x y-4 y z-8 x z$ ，则 $f=1$ 表示的二次曲面类型是
$\_\_\_\_$。

5、设 $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C} \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb{R})$ ，满足 $\mathbf{A} \mathbf{B}-\mathbf{B} \mathbf{A}=\mathbf{C} \mathbf{C}^{T}$ ，则 $\mathbf{r}\left(\mathbf{C} \mathbf{C}^{T}\right)=$ $\_\_\_\_$ ，$C=$ $\_\_\_\_$。

6、设 $1, x, y, x^{2}, x y$ 在实数域 $\mathbb{R}$ 上生成的线性空间为 $V$ ，设线性变换： $\displaystyle \mathcal{A}(f)=\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}$ ， $f \in V$ ，则 $\mathcal{A}$ 在基 $\left\{1, x, y, x^{2}, x y\right\}$ 下矩阵为 $\_\_\_\_$ 0， $\operatorname{Ker}(\mathcal{A})=$ $\_\_\_\_$ ， $\operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(\mathcal{A}))=$
$\_\_\_\_$。

7、设 $A$ 为 5 阶方阵，其特征多项式为 $f(\lambda)=(\lambda \cdots 9)^{3}(\lambda+5)^{2}$ ，最小多项式

$$
m(\lambda)=(\lambda-9)^{2}(\lambda+5)^{2}
$$

求 $\mathbf{A}$ 的 Jordan 标准形 $\_\_\_\_$ ， $\mathbf{\lambda}=9$ 的特征子空间的维数为 $\_\_\_\_$ ，以及 $r(-5 I-A)=$
$\_\_\_\_$。 ◯

8、设 $y_{1}=(1,2,1)^{T}, y_{2}=(1,-1,0)^{T}$ ，欧氏空间 $U=L\left(y_{1}, y_{2}\right)$ ，求 $U$ 的一组标准正交基 $\_\_\_\_$ ，以及 $\alpha=(1,3,0)^{T}$ 在 $U$ 上的正交投影 $\_\_\_\_$ ．

七、（10 分）设 $V$ 是 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 是 $V$ 上的一个线性变换．证明：存在 $\displaystyle \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \left\{\alpha, \mathcal{A}(\alpha), \cdots, \mathcal{A}^{n-1}(\alpha)\right\}$ 成为 $V$ 的一组基当且仅当对于 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的任一特征值 $\displaystyle \lambda$ 的几何重数为 1 ．

三、（15 分）对于方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}=3 \\ k x_{1}+x_{2}+x_{3}=2\end{array}\right.$ ．问：$k$ 为何值时方程组无解？有无穷多解？并用基础解系表示通解。

二、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上无零点的实值连续函数，且满足 $\displaystyle f(2024)+f(2025)=2026$ ．
证明：对任意的 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in \mathbb{R}$ ，矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1+f\left(x_{1}\right) & f\left(x_{2}\right) & \ldots & f\left(x_{n}\right) \\ f\left(x_{1}\right) & 1+f\left(x_{2}\right) & \ldots & f\left(x_{n}\right) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f\left(x_{1}\right) & f\left(x_{2}\right) & \ldots & 1+f\left(x_{n}\right)\end{array}\right)$是可逆矩阵．

五、（10 分）设 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上所有 $n$ 阶方阵组成的线性空间，$\displaystyle T: M_{n}(\mathbb{C}) \rightarrow \mathbb{C}$是线性映射，满足：$\displaystyle T(A B)=T(B A),\left(\forall A, B \in M_{n}(\mathbb{C})\right)$ ．证明：对任意 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，总存在 $\displaystyle \lambda \in \mathbb{C}$ ，使得 $\displaystyle T(A)=\lambda \operatorname{tr}(A)$ ．

六、（10 分）分别写出 $\displaystyle x^{6}-1$ 在 $\displaystyle \mathbb{C}$ 与 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的标准因式分解，其中 $\displaystyle \mathbb{C}$ 表示复数域， $\displaystyle \mathbb{R}$ 表示实数域。

四、（15 分）证明：设 $A$ 是 $n$ 级正定矩阵，则对 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 中任一非零列向量 $\displaystyle \alpha$ ，有 $\displaystyle \left|\begin{array}{cc}A & \alpha \\ \alpha^{T} & 0\end{array}\right|<0$ ．