北京理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
二、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上无零点的实值连续函数，且满足 $\displaystyle f(2024)+f(2025)=2026$ ．
证明：对任意的 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in \mathbb{R}$ ，矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1+f\left(x_{1}\right) & f\left(x_{2}\right) & \ldots & f\left(x_{n}\right) \\ f\left(x_{1}\right) & 1+f\left(x_{2}\right) & \ldots & f\left(x_{n}\right) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f\left(x_{1}\right) & f\left(x_{2}\right) & \ldots & 1+f\left(x_{n}\right)\end{array}\right)$是可逆矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造列向量并设线性组合为零
设矩阵 $A$ 的列向量为 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$，其中 $\alpha_j = (f(x_j), f(x_j), \dots, 1+f(x_j), \dots, f(x_j))^T$（第 $j$ 个分量为 $1+f(x_j)$，其余为 $f(x_j)$）。考虑线性组合 $\sum_{j=1}^n c_j \alpha_j = 0$，即对每个 $i=1,\dots,n$，有
\[
\sum_{j=1}^n c_j f(x_j) + c_i = 0.
\]
提示：注意列向量的结构：第j列的第j个元素是1+f(x_j)，其他都是f(x_j)。
步骤 2/6
目标：引入公共和并推导系数相等
记 $S = \sum_{j=1}^n c_j f(x_j)$，则上式化为 $S + c_i = 0$，即 $c_i = -S$ 对所有 $i$ 成立。因此所有 $c_i$ 相等，设为 $c$，则 $S = c \sum_{j=1}^n f(x_j)$，且 $c = -S$。
公式：c_i = -S
提示：注意S的定义是c_j与f(x_j)的乘积和，与i无关。
步骤 3/6
目标：得到关于c的方程
由 $c = -S$ 和 $S = c \sum_{j=1}^n f(x_j)$ 得 $c = -c \sum_{j=1}^n f(x_j)$，即 $c \left(1 + \sum_{j=1}^n f(x_j)\right) = 0$。
公式：c \left(1 + \sum_{j=1}^n f(x_j)\right) = 0
提示：移项时注意符号。
步骤 4/6
目标：分析f(x)的符号性质
由条件 $f(2024)+f(2025)=2026$ 且 $f$ 连续无零点，可知 $f$ 恒正或恒负。因为若 $f$ 变号，由介值定理存在零点，矛盾。且 $f(2024)+f(2025)=2026>0$，故 $f$ 恒正。
提示：连续函数无零点意味着恒正或恒负，结合和为正推出恒正。
步骤 5/6
目标：推出c=0
若 $c \neq 0$，则 $1 + \sum_{j=1}^n f(x_j) = 0$。但 $f$ 恒正，故 $\sum f(x_j) > 0$，从而 $1+\sum f(x_j) > 0$，矛盾。因此 $c=0$。
提示：注意恒正时和为正，不可能等于-1。
步骤 6/6
目标：得出列向量线性无关
由 $c=0$ 得所有 $c_j=0$，所以列向量线性无关，故矩阵 $A$ 可逆。
提示：线性无关等价于可逆。
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