北京理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
三、（15 分）对于方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}=3 \\ k x_{1}+x_{2}+x_{3}=2\end{array}\right.$ ．问：$k$ 为何值时方程组无解？有无穷多解？并用基础解系表示通解。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出增广矩阵
将方程组写成增广矩阵形式：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 3 \\
k & 1 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\]
提示：注意增广矩阵最后一列是常数项，不要遗漏。
步骤 2/7
目标：初等行变换化简
第二行减去第一行的 $k$ 倍，得：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 3 \\
0 & 1-k & 1-k & 2-3k
\end{pmatrix}
\]
提示：行变换时注意符号，特别是 $2-3k$ 的计算。
步骤 3/7
目标：讨论 $k=1$ 的情况
当 $k=1$ 时，矩阵变为：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
\]
第二行对应方程 $0=-1$，矛盾，故方程组无解。
提示：注意 $k=1$ 时第二行全零但常数项非零，导致无解。
步骤 4/7
目标：讨论 $k \neq 1$ 的情况
当 $k \neq 1$ 时，$1-k \neq 0$，矩阵的秩为2，小于未知数个数3，且增广矩阵的秩也为2，故方程组有无穷多解。
提示：判断无穷多解的条件：系数矩阵秩等于增广矩阵秩且小于未知数个数。
步骤 5/7
目标：继续化简求通解
当 $k \neq 1$ 时，第二行除以 $1-k$，得：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 1 & \frac{2-3k}{1-k}
\end{pmatrix}
\]
第一行减去第二行，得：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 3 - \frac{2-3k}{1-k} \\
0 & 1 & 1 & \frac{2-3k}{1-k}
\end{pmatrix}
\]
计算 $3 - \frac{2-3k}{1-k} = \frac{1}{1-k}$，所以：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \frac{1}{1-k} \\
0 & 1 & 1 & \frac{2-3k}{1-k}
\end{pmatrix}
\]
提示：化简时注意分数运算，确保分母不为零。
步骤 6/7
目标：写出通解形式
对应方程组：
\[
\begin{cases}
x_1 = \frac{1}{1-k} \\
x_2 + x_3 = \frac{2-3k}{1-k}
\end{cases}
\]
令 $x_3 = t$（自由变量），则 $x_2 = \frac{2-3k}{1-k} - t$，$x_1 = \frac{1}{1-k}$。
通解为：
\[
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\frac{1}{1-k} \\
\frac{2-3k}{1-k} \\
0
\end{pmatrix}
+ t \begin{pmatrix}
0 \\ -1 \\ 1
\end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}
\]
基础解系为 $\xi = (0, -1, 1)^T$。
提示：自由变量通常取 $x_3$，注意基础解系中自由变量对应的分量。
步骤 7/7
目标：总结答案
当 $k=1$ 时，方程组无解；当 $k \neq 1$ 时，方程组有无穷多解，通解如上。
提示：注意区分无解和无穷多解的条件。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。