北京理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
四、（15 分）证明：设 $A$ 是 $n$ 级正定矩阵，则对 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 中任一非零列向量 $\displaystyle \alpha$ ，有 $\displaystyle \left|\begin{array}{cc}A & \alpha \\ \alpha^{T} & 0\end{array}\right|<0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用正定性说明A可逆且A^{-1}正定
由于$A$是$n$阶正定矩阵，正定矩阵的所有特征值大于0，故$|A|>0$，$A$可逆。且$A^{-1}$的特征值为$A$特征值的倒数，也大于0，所以$A^{-1}$也是正定矩阵。
提示：注意正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
步骤 2/4
目标：构造分块矩阵并进行行变换
考虑分块矩阵$\begin{pmatrix} A & \alpha \\ \alpha^T & 0 \end{pmatrix}$。对第二行左乘$(-\alpha^T A^{-1})$并加到第一行？实际上，正确的行变换是：将第一行左乘$-\alpha^T A^{-1}$后加到第二行，即$R_2 \leftarrow R_2 - \alpha^T A^{-1} R_1$。注意这里$R_1$是行向量$[A, \alpha]$，乘以$-\alpha^T A^{-1}$得到$[-\alpha^T A^{-1}A, -\alpha^T A^{-1}\alpha] = [-\alpha^T, -\alpha^T A^{-1}\alpha]$，加到第二行$[\alpha^T, 0]$上得到$[0, -\alpha^T A^{-1}\alpha]$。因此变换后的矩阵为$\begin{pmatrix} A & \alpha \\ 0 & -\alpha^T A^{-1}\alpha \end{pmatrix}$。
公式：行变换不改变行列式的值
提示：注意行变换是左乘一个矩阵，要确保变换正确。
步骤 3/4
目标：计算变换后矩阵的行列式
变换后的矩阵是分块上三角矩阵，其行列式等于对角块行列式的乘积：$\begin{vmatrix} A & \alpha \\ 0 & -\alpha^T A^{-1}\alpha \end{vmatrix} = |A| \cdot (-\alpha^T A^{-1}\alpha)$。
公式：分块上三角矩阵的行列式等于对角块行列式的乘积
提示：注意分块矩阵的行列式公式，当左下角为零矩阵时成立。
步骤 4/4
目标：利用正定性判断符号
因为$A$正定，所以$|A|>0$。又因为$A^{-1}$正定且$\alpha$非零，所以二次型$\alpha^T A^{-1}\alpha > 0$。因此$|A| \cdot (-\alpha^T A^{-1}\alpha) < 0$，即原行列式小于0。
公式：正定矩阵的二次型大于0
提示：注意$\alpha$是非零列向量，否则二次型可能为0。
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