北京理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
五、（10 分）设 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上所有 $n$ 阶方阵组成的线性空间，$\displaystyle T: M_{n}(\mathbb{C}) \rightarrow \mathbb{C}$是线性映射，满足：$\displaystyle T(A B)=T(B A),\left(\forall A, B \in M_{n}(\mathbb{C})\right)$ ．证明：对任意 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，总存在 $\displaystyle \lambda \in \mathbb{C}$ ，使得 $\displaystyle T(A)=\lambda \operatorname{tr}(A)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入基矩阵并分析非对角元
设 $E_{ij}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列为1，其余为0的矩阵，则 $\{E_{ij}\}_{1\le i,j\le n}$ 是 $M_n(\mathbb{C})$ 的一组基。对于任意 $i\neq j$，取 $A=E_{ii}$，$B=E_{ij}$，则 $AB=E_{ii}E_{ij}=E_{ij}$，$BA=E_{ij}E_{ii}=0$。由 $T(AB)=T(BA)$ 得 $T(E_{ij})=T(0)=0$。同理，取 $A=E_{ij}$，$B=E_{jj}$ 也得 $T(E_{ij})=0$。因此，当 $i\neq j$ 时，$T(E_{ij})=0$。
公式：T(AB)=T(BA)
提示：注意 $E_{ii}E_{ij}=E_{ij}$ 但 $E_{ij}E_{ii}=0$，因为 $i\neq j$ 时 $E_{ij}$ 只有第 $i$ 行非零，右乘 $E_{ii}$ 会消去非对角元。
步骤 2/5
目标：分析对角元之间的关系
对于任意 $i,j$，取 $A=E_{ij}$，$B=E_{ji}$，则 $AB=E_{ij}E_{ji}=E_{ii}$，$BA=E_{ji}E_{ij}=E_{jj}$。由 $T(AB)=T(BA)$ 得 $T(E_{ii})=T(E_{jj})$。因此所有 $T(E_{ii})$ 相等，记作 $\lambda$。
公式：T(AB)=T(BA)
提示：注意 $E_{ij}E_{ji}=E_{ii}$ 是因为 $E_{ij}$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列为1，$E_{ji}$ 的第 $j$ 行第 $i$ 列为1，乘积得到 $E_{ii}$。
步骤 3/5
目标：将任意矩阵表示为基的线性组合
任意 $A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{C})$ 可表示为 $A=\sum_{i,j} a_{ij}E_{ij}$。
提示：注意求和指标 $i,j$ 均从1到 $n$。
步骤 4/5
目标：利用线性性计算T(A)
由 $T$ 的线性性，$T(A)=\sum_{i,j} a_{ij}T(E_{ij})$。根据第一步，当 $i\neq j$ 时 $T(E_{ij})=0$，所以只有 $i=j$ 的项非零，即 $T(A)=\sum_i a_{ii}T(E_{ii})$。
公式：T(\sum a_{ij}E_{ij})=\sum a_{ij}T(E_{ij})
提示：线性性要求系数可提出，注意 $T$ 是到 $\mathbb{C}$ 的线性映射。
步骤 5/5
目标：代入对角元的值并得到结论
由第二步，$T(E_{ii})=\lambda$ 对所有 $i$ 成立，所以 $T(A)=\lambda\sum_i a_{ii}=\lambda\operatorname{tr}(A)$。因此存在 $\lambda\in\mathbb{C}$ 使得 $T(A)=\lambda\operatorname{tr}(A)$ 对所有 $A$ 成立。
公式：\operatorname{tr}(A)=\sum_i a_{ii}
提示：注意 $\lambda$ 是常数，由 $T$ 唯一确定。
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