北京理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2、设 $A \in M_{3}(\mathbb{R})$ ，且 $A^{*}=2 A^{T}$ ，求 $|A|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用伴随矩阵性质建立方程
已知 $A^* = 2A^T$。由伴随矩阵性质 $AA^* = |A|I$，代入得 $A(2A^T) = |A|I$，即 $2AA^T = |A|I$。
公式：$AA^* = |A|I$
提示：注意伴随矩阵的定义：$A^*$ 是 $A$ 的代数余子式矩阵的转置。
步骤 2/7
目标：两边取行列式
对 $2AA^T = |A|I$ 两边取行列式：$|2AA^T| = | |A|I |$。左边 $|2AA^T| = 2^3 |A| |A^T| = 8|A|^2$（因为 $|A^T| = |A|$），右边 $| |A|I | = |A|^3$（3阶单位矩阵的行列式为1）。
公式：$|kA| = k^n|A|$，$|AB| = |A||B|$，$|A^T| = |A|$
提示：注意 $|2AA^T|$ 中 $2$ 是标量，提取时需乘 $n$ 次方，这里 $n=3$。
步骤 3/7
目标：化简行列式方程
得到 $8|A|^2 = |A|^3$，移项得 $|A|^3 - 8|A|^2 = 0$，即 $|A|^2(|A| - 8) = 0$。
提示：注意不要两边除以 $|A|^2$，否则会丢失 $|A|=0$ 的解。
步骤 4/7
目标：求解 $|A|$ 的可能值
由 $|A|^2(|A| - 8) = 0$ 得 $|A| = 0$ 或 $|A| = 8$。
提示：两个解都需要考虑，不能直接舍去 $|A|=0$。
步骤 5/7
目标：检验 $|A|=0$ 的情况
若 $|A|=0$，代入 $2AA^T = |A|I$ 得 $2AA^T = 0$，即 $AA^T = 0$。由于 $AA^T$ 是半正定矩阵，其迹 $\operatorname{tr}(AA^T) = \sum_{i,j} a_{ij}^2 = 0$，故 $A=0$。此时 $A^*=0$，$2A^T=0$，满足原方程。因此 $|A|=0$ 是可能的。
公式：$\operatorname{tr}(AA^T) = \sum_{i,j} a_{ij}^2$
提示：注意 $AA^T=0$ 推出 $A=0$ 是因为实矩阵的 $AA^T$ 的迹等于所有元素平方和。
步骤 6/7
目标：检验 $|A|=8$ 的情况
若 $|A|=8$，代入 $2AA^T = |A|I$ 得 $2AA^T = 8I$，即 $AA^T = 4I$，故 $A$ 可逆且 $A^T = 4A^{-1}$。代入原式 $A^* = 2A^T = 8A^{-1}$，而 $A^* = |A|A^{-1} = 8A^{-1}$，一致。因此 $|A|=8$ 也是可能的。
公式：$A^* = |A|A^{-1}$（当 $A$ 可逆时）
提示：注意 $A$ 可逆时 $A^* = |A|A^{-1}$，用于验证。
步骤 7/7
目标：总结 $|A|$ 的值
综上，$|A|$ 的可能值为 $0$ 或 $8$。题目未排除零矩阵，故两个解均成立。
提示：常见答案只写8，但严格来说0也是解。
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