北京理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
5、设 $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C} \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb{R})$ ，满足 $\mathbf{A} \mathbf{B}-\mathbf{B} \mathbf{A}=\mathbf{C} \mathbf{C}^{T}$ ，则 $\mathbf{r}\left(\mathbf{C} \mathbf{C}^{T}\right)=$ $\_\_\_\_$ ，$C=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析等式两边矩阵性质
已知 $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C} \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb{R})$，满足 $\mathbf{A} \mathbf{B} - \mathbf{B} \mathbf{A} = \mathbf{C} \mathbf{C}^{T}$。左边是 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 的换位子，右边是 $\mathbf{C}$ 与其转置的乘积。
提示：注意矩阵乘法不满足交换律，但换位子有特殊性质。
步骤 2/6
目标：计算左边矩阵的迹
计算 $\operatorname{tr}(\mathbf{A} \mathbf{B} - \mathbf{B} \mathbf{A})$。由迹的线性性质：$\operatorname{tr}(\mathbf{A} \mathbf{B} - \mathbf{B} \mathbf{A}) = \operatorname{tr}(\mathbf{A} \mathbf{B}) - \operatorname{tr}(\mathbf{B} \mathbf{A})$。又因为 $\operatorname{tr}(\mathbf{A} \mathbf{B}) = \operatorname{tr}(\mathbf{B} \mathbf{A})$，所以 $\operatorname{tr}(\mathbf{A} \mathbf{B} - \mathbf{B} \mathbf{A}) = 0$。
公式：$\operatorname{tr}(\mathbf{A} \mathbf{B}) = \operatorname{tr}(\mathbf{B} \mathbf{A})$
提示：迹的循环性质：$\operatorname{tr}(\mathbf{A} \mathbf{B}) = \operatorname{tr}(\mathbf{B} \mathbf{A})$，但注意 $\operatorname{tr}(\mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{C}) = \operatorname{tr}(\mathbf{C} \mathbf{A} \mathbf{B})$ 等。
步骤 3/6
目标：计算右边矩阵的迹
计算 $\operatorname{tr}(\mathbf{C} \mathbf{C}^{T})$。设 $\mathbf{C} = (c_{ij})$，则 $\mathbf{C} \mathbf{C}^{T}$ 的第 $i$ 个对角元为 $\sum_{j=1}^n c_{ij}^2$，所以 $\operatorname{tr}(\mathbf{C} \mathbf{C}^{T}) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n c_{ij}^2$。由于 $c_{ij}$ 是实数，该迹非负。
公式：$\operatorname{tr}(\mathbf{C} \mathbf{C}^{T}) = \sum_{i,j} c_{ij}^2$
提示：注意 $\mathbf{C} \mathbf{C}^{T}$ 是半正定矩阵，迹等于所有元素平方和。
步骤 4/6
目标：对等式两边取迹
对等式 $\mathbf{A} \mathbf{B} - \mathbf{B} \mathbf{A} = \mathbf{C} \mathbf{C}^{T}$ 两边取迹，得 $\operatorname{tr}(\mathbf{A} \mathbf{B} - \mathbf{B} \mathbf{A}) = \operatorname{tr}(\mathbf{C} \mathbf{C}^{T})$。由前两步，左边为0，右边为 $\sum_{i,j} c_{ij}^2$，因此 $\sum_{i,j} c_{ij}^2 = 0$。
公式：$0 = \sum_{i,j} c_{ij}^2$
提示：实数平方和为零当且仅当每个平方项为零。
步骤 5/6
目标：推导出C为零矩阵
由 $\sum_{i,j} c_{ij}^2 = 0$ 且每个 $c_{ij}^2 \geq 0$，得所有 $c_{ij}=0$，即 $\mathbf{C} = \mathbf{0}$。
提示：注意 $c_{ij}$ 是实数，平方和为零则每个分量必为零。
步骤 6/6
目标：计算C C^T的秩
由于 $\mathbf{C} = \mathbf{0}$，则 $\mathbf{C} \mathbf{C}^{T} = \mathbf{0}$，零矩阵的秩为0。因此 $\mathbf{r}(\mathbf{C} \mathbf{C}^{T}) = 0$。
公式：$\mathbf{r}(\mathbf{0}) = 0$
提示：零矩阵的秩定义为0。
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