北京理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
3、 10 阶实对称矩阵的合同种类有 $\_\_\_\_$种？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解实对称矩阵的合同分类依据
实对称矩阵的合同分类由惯性定理决定，即通过非退化线性变换，实对称矩阵可化为规范形，其正、负、零惯性指数唯一确定合同类。对于 $n$ 阶实对称矩阵，设正惯性指数为 $p$，负惯性指数为 $q$，零惯性指数为 $r$，则 $p+q+r=n$，且 $p,q$ 为非负整数。
公式：$p+q+r=n$
提示：注意惯性指数是合同不变量，但顺序不同（如先正后负）不影响分类，只需考虑 $(p,q)$ 对。
步骤 2/4
目标：确定 $n=10$ 时 $(p,q)$ 的取值范围
由于 $p+q \leq 10$，且 $p,q \geq 0$，$p$ 可以从 $0$ 取到 $10$，对于每个固定的 $p$，$q$ 可以从 $0$ 取到 $10-p$。因此 $(p,q)$ 对的总数等于所有满足 $p+q \leq 10$ 的非负整数对个数。
公式：$p \in [0,10],\ q \in [0,10-p]$
提示：注意 $p$ 和 $q$ 的顺序是否重要？实际上 $(p,q)$ 和 $(q,p)$ 对应不同的合同类（除非 $p=q$），因为规范形中正负号不同。
步骤 3/4
目标：计算 $(p,q)$ 对的总数
对 $p$ 从 $0$ 到 $10$ 求和：每个 $p$ 对应的 $q$ 取值个数为 $10-p+1 = 11-p$。因此总数为 $\sum_{p=0}^{10} (11-p) = 11+10+9+\cdots+1 = \frac{11 \times 12}{2} = 66$。
公式：$\sum_{p=0}^{10} (11-p) = \frac{11\times12}{2}=66$
提示：求和时注意项数：从 $p=0$ 到 $10$ 共11项，首项11，末项1，等差数列求和。
步骤 4/4
目标：验证结果并给出答案
因此，10阶实对称矩阵的合同种类数为66种。注意，合同分类与惯性指数一一对应，每个 $(p,q)$ 对对应一个合同类。
提示：不要遗漏 $p+q<10$ 的情况，即包含零惯性指数的情况。
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