北京理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
4、设 $f(x, y, z)=x^{2}+4 y^{2}+z^{2}-4 x y-4 y z-8 x z$ ，则 $f=1$ 表示的二次曲面类型是
$\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出二次型的矩阵形式
二次型 $f(x, y, z) = x^2 + 4y^2 + z^2 - 4xy - 4yz - 8xz$ 可以表示为 $f = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $\mathbf{x} = (x, y, z)^T$，对称矩阵 $A$ 的元素由二次型系数确定：$A_{11}=1$, $A_{22}=4$, $A_{33}=1$；交叉项系数一半：$A_{12}=A_{21}=-2$, $A_{13}=A_{31}=-4$, $A_{23}=A_{32}=-2$。因此 $$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -4 \\ -2 & 4 & -2 \\ -4 & -2 & 1 \end{pmatrix}.$$
公式：$f = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $A$ 为对称矩阵
提示：注意交叉项系数要除以2，且矩阵对称。
步骤 2/5
目标：计算特征多项式
特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-1 & 2 & 4 \\ 2 & \lambda-4 & 2 \\ 4 & 2 & \lambda-1 \end{vmatrix}$。按第一行展开：$$(\lambda-1)[(\lambda-4)(\lambda-1)-4] - 2[2(\lambda-1)-8] + 4[4-4(\lambda-4)].$$ 化简：$$(\lambda-1)(\lambda^2-5\lambda+4-4) - 2(2\lambda-2-8) + 4(4-4\lambda+16) = (\lambda-1)(\lambda^2-5\lambda) - 2(2\lambda-10) + 4(20-4\lambda).$$ 继续：$$\lambda^3-5\lambda^2-\lambda^2+5\lambda -4\lambda+20 +80-16\lambda = \lambda^3-6\lambda^2-15\lambda+100.$$
公式：$\det(\lambda I - A)=0$
提示：计算行列式时注意符号和合并同类项。
步骤 3/5
目标：求解特征值
令特征多项式为零：$\lambda^3-6\lambda^2-15\lambda+100=0$。尝试有理根，发现 $\lambda=5$ 是根：$125-150-75+100=0$。用多项式除法或因式分解得 $(\lambda-5)(\lambda^2-\lambda-20)=0$，即 $(\lambda-5)(\lambda-5)(\lambda+4)=0$。所以特征值为 $\lambda_1=5$（二重），$\lambda_2=-4$。
提示：注意二重根不要遗漏。
步骤 4/5
目标：写出标准形
通过正交变换，二次型可化为标准形 $5y_1^2+5y_2^2-4y_3^2$。因此方程 $f=1$ 变为 $5y_1^2+5y_2^2-4y_3^2=1$。
公式：标准形：$\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\lambda_3 y_3^2$
提示：标准形系数即为特征值。
步骤 5/5
目标：化为规范形并判断曲面类型
将方程化为 $\frac{y_1^2}{1/5}+\frac{y_2^2}{1/5}-\frac{y_3^2}{1/4}=1$。由于有两个正平方项和一个负平方项，且常数项为正，该曲面为双叶双曲面。
公式：二次曲面分类：双叶双曲面特征为两个正特征值、一个负特征值，且常数项为正
提示：注意区分双叶双曲面和单叶双曲面：单叶双曲面是一个正、两个负（或两个正、一个负但常数项为负）。
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