北京理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
6、设 $1, x, y, x^{2}, x y$ 在实数域 $\mathbb{R}$ 上生成的线性空间为 $V$ ，设线性变换： $\displaystyle \mathcal{A}(f)=\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}$ ， $f \in V$ ，则 $\mathcal{A}$ 在基 $\left\{1, x, y, x^{2}, x y\right\}$ 下矩阵为 $\_\_\_\_$ 0， $\operatorname{Ker}(\mathcal{A})=$ $\_\_\_\_$ ， $\operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(\mathcal{A}))=$
$\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算基向量的像
对基中的每个向量应用线性变换 $\mathcal{A}(f)=\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}$：
- $\mathcal{A}(1)=0$，
- $\mathcal{A}(x)=1$，
- $\mathcal{A}(y)=-1$，
- $\mathcal{A}(x^2)=2x$，
- $\mathcal{A}(xy)=y-x$。
公式：$\mathcal{A}(f)=\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}$
提示：注意偏导数的计算，尤其是对 $xy$ 求偏导时，$\frac{\partial (xy)}{\partial x}=y$，$\frac{\partial (xy)}{\partial y}=x$。
步骤 2/6
目标：将像用基表示
将每个像写成基 $\{1,x,y,x^2,xy\}$ 的线性组合：
- $\mathcal{A}(1)=0\cdot1+0\cdot x+0\cdot y+0\cdot x^2+0\cdot xy$，
- $\mathcal{A}(x)=1\cdot1+0\cdot x+0\cdot y+0\cdot x^2+0\cdot xy$，
- $\mathcal{A}(y)=(-1)\cdot1+0\cdot x+0\cdot y+0\cdot x^2+0\cdot xy$，
- $\mathcal{A}(x^2)=0\cdot1+2\cdot x+0\cdot y+0\cdot x^2+0\cdot xy$，
- $\mathcal{A}(xy)=0\cdot1+(-1)\cdot x+1\cdot y+0\cdot x^2+0\cdot xy$。
提示：注意系数顺序与基的顺序一致，不要混淆。
步骤 3/6
目标：构造变换矩阵
矩阵的第 $j$ 列是第 $j$ 个基向量的像的系数列向量。按基顺序 $1,x,y,x^2,xy$，得到矩阵：
$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
提示：矩阵的列对应基向量的像的坐标，行对应基的每个分量。
步骤 4/6
目标：写出一般元素并应用变换
设 $f = a + bx + cy + dx^2 + exy \in V$，则
$$\mathcal{A}(f) = \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y} = (b + 2dx + ey) - (c + ex) = b - c + (2d - e)x + ey$$
公式：$\mathcal{A}(f) = b - c + (2d - e)x + ey$
提示：注意 $\frac{\partial}{\partial x}(xy)=y$，$\frac{\partial}{\partial y}(xy)=x$，合并时小心符号。
步骤 5/6
目标：求解核的条件
令 $\mathcal{A}(f)=0$，得方程组：
$$\begin{cases} b - c = 0 \\ 2d - e = 0 \\ e = 0 \end{cases}$$ 解得 $c = b$，$d = 0$，$e = 0$。
提示：注意 $\mathcal{A}(f)$ 是多项式，系数全为零才为零多项式。
步骤 6/6
目标：写出核空间
由 $c=b$，$d=0$，$e=0$，得 $f = a + bx + by = a + b(x+y)$。因此
$$\operatorname{Ker}(\mathcal{A}) = \{ a + b(x+y) \mid a,b \in \mathbb{R} \}$$ 维数为 $2$。
提示：注意 $x+y$ 是线性无关的，与常数 $1$ 一起构成基。
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