北京理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
六、（10 分）分别写出 $\displaystyle x^{6}-1$ 在 $\displaystyle \mathbb{C}$ 与 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的标准因式分解，其中 $\displaystyle \mathbb{C}$ 表示复数域， $\displaystyle \mathbb{R}$ 表示实数域。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：在复数域上求根
方程 $x^6-1=0$ 在复数域上的根是6次单位根。设 $x^6=1$，则 $x = e^{2\pi i k/6} = e^{\pi i k/3}$，其中 $k=0,1,2,3,4,5$。具体根为：$x_0=1$，$x_1=e^{\pi i/3}$，$x_2=e^{2\pi i/3}$，$x_3=-1$，$x_4=e^{4\pi i/3}$，$x_5=e^{5\pi i/3}$。
公式：$x = e^{2\pi i k/n}$ 是 $n$ 次单位根
提示：注意 $k$ 从0开始，不要遗漏根。
步骤 2/6
目标：写出复数域上的标准因式分解
根据代数基本定理，多项式在复数域上可分解为一次因式的乘积。因此，$x^6-1 = \prod_{k=0}^{5} (x - e^{\pi i k/3}) = (x-1)(x-e^{\pi i/3})(x-e^{2\pi i/3})(x+1)(x-e^{4\pi i/3})(x-e^{5\pi i/3})$。
公式：$x^n-1 = \prod_{k=0}^{n-1} (x - e^{2\pi i k/n})$
提示：注意因式顺序可以任意，但必须包含所有根。
步骤 3/6
目标：在实数域上使用平方差公式
首先利用平方差公式：$x^6-1 = (x^3-1)(x^3+1)$。
公式：$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$
提示：注意 $x^6$ 是 $x^3$ 的平方，不要写成 $x^2$。
步骤 4/6
目标：分解立方差
分解 $x^3-1$：利用立方差公式 $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$，得 $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$。
公式：$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$
提示：注意符号：$x^2+x+1$ 中间是加号。
步骤 5/6
目标：分解立方和
分解 $x^3+1$：利用立方和公式 $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$，得 $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$。
公式：$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
提示：注意符号：$x^2-x+1$ 中间是减号。
步骤 6/6
目标：合并得到实数域上的标准因式分解
将上述分解合并：$x^6-1 = (x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$。检查二次因式是否可约：判别式 $\Delta = 1-4 = -3 < 0$，故在实数域上不可约，分解完成。
提示：注意二次因式在实数域上不可约，无需继续分解。
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