北京理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
8、设 $y_{1}=(1,2,1)^{T}, y_{2}=(1,-1,0)^{T}$ ，欧氏空间 $U=L\left(y_{1}, y_{2}\right)$ ，求 $U$ 的一组标准正交基 $\_\_\_\_$ ，以及 $\alpha=(1,3,0)^{T}$ 在 $U$ 上的正交投影 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：初始化正交基向量
取第一个向量 $\beta_1 = y_1 = (1,2,1)^T$。
提示：Gram-Schmidt正交化从第一个向量开始，无需计算。
步骤 2/7
目标：计算第二个正交向量
计算 $\beta_2 = y_2 - \frac{(y_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)} \beta_1$。
内积：$(y_2,\beta_1)=1\cdot1+(-1)\cdot2+0\cdot1=1-2+0=-1$，$(\beta_1,\beta_1)=1^2+2^2+1^2=6$。
所以 $\beta_2 = (1,-1,0)^T - \frac{-1}{6}(1,2,1)^T = (1,-1,0)^T + \frac{1}{6}(1,2,1)^T = \left(\frac{7}{6}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{6}\right)^T$。
公式：$\beta_k = y_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{(y_k,\beta_i)}{(\beta_i,\beta_i)} \beta_i$
提示：注意内积符号，计算时细心。
步骤 3/7
目标：单位化第一个向量
计算 $\eta_1 = \frac{\beta_1}{\|\beta_1\|} = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1)^T$。
公式：$\eta = \frac{\beta}{\|\beta\|}$
提示：单位化时不要忘记除以模长。
步骤 4/7
目标：单位化第二个向量
计算 $\|\beta_2\| = \sqrt{\left(\frac{7}{6}\right)^2 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{6}\right)^2} = \sqrt{\frac{49}{36} + \frac{4}{9} + \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{66}{36}} = \frac{\sqrt{66}}{6}$。
所以 $\eta_2 = \frac{\beta_2}{\|\beta_2\|} = \frac{6}{\sqrt{66}} \left(\frac{7}{6}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{6}\right)^T = \frac{1}{\sqrt{66}}(7, -4, 1)^T$。
提示：化简时注意分数运算，最终结果化为最简形式。
步骤 5/7
目标：写出标准正交基
因此 $U$ 的一组标准正交基为 $\left\{ \frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1)^T, \frac{1}{\sqrt{66}}(7,-4,1)^T \right\}$。
提示：标准正交基中的向量是单位向量且两两正交。
步骤 6/7
目标：计算投影所需内积
计算 $\alpha=(1,3,0)^T$ 与标准正交基的内积：
$(\alpha,\eta_1) = 1\cdot\frac{1}{\sqrt{6}} + 3\cdot\frac{2}{\sqrt{6}} + 0\cdot\frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{7}{\sqrt{6}}$。
$(\alpha,\eta_2) = 1\cdot\frac{7}{\sqrt{66}} + 3\cdot\frac{-4}{\sqrt{66}} + 0\cdot\frac{1}{\sqrt{66}} = \frac{-5}{\sqrt{66}}$。
公式：$(\alpha,\eta) = \sum \alpha_i \eta_i$
提示：注意内积是点乘，结果可能为负。
步骤 7/7
目标：计算正交投影
投影公式：$\text{proj}_U(\alpha) = (\alpha,\eta_1)\eta_1 + (\alpha,\eta_2)\eta_2$。
代入得：$\frac{7}{\sqrt{6}} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1)^T + \frac{-5}{\sqrt{66}} \cdot \frac{1}{\sqrt{66}}(7,-4,1)^T = \frac{7}{6}(1,2,1)^T - \frac{5}{66}(7,-4,1)^T$。
计算：$\frac{7}{6}(1,2,1)^T = \left(\frac{7}{6}, \frac{7}{3}, \frac{7}{6}\right)^T$，$\frac{5}{66}(7,-4,1)^T = \left(\frac{35}{66}, -\frac{10}{33}, \frac{5}{66}\right)^T$。
相减得：$\left(\frac{7}{6}-\frac{35}{66}, \frac{7}{3}+\frac{10}{33}, \frac{7}{6}-\frac{5}{66}\right)^T = \left(\frac{42}{66}, \frac{87}{33}, \frac{72}{66}\right)^T = \left(\frac{7}{11}, \frac{29}{11}, \frac{12}{11}\right)^T$。
公式：$\text{proj}_U(\alpha) = \sum_{i=1}^k (\alpha,\eta_i)\eta_i$
提示：注意分数通分和化简，最终结果应为最简分数。
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