北京理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
7、设 $A$ 为 5 阶方阵，其特征多项式为 $f(\lambda)=(\lambda \cdots 9)^{3}(\lambda+5)^{2}$ ，最小多项式
$$
m(\lambda)=(\lambda-9)^{2}(\lambda+5)^{2}
$$
求 $\mathbf{A}$ 的 Jordan 标准形 $\_\_\_\_$ ， $\mathbf{\lambda}=9$ 的特征子空间的维数为 $\_\_\_\_$ ，以及 $r(-5 I-A)=$
$\_\_\_\_$。 ◯
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析特征多项式与最小多项式
已知特征多项式 $f(\lambda)=(\lambda-9)^3(\lambda+5)^2$，因此特征值 $\lambda=9$ 的代数重数为3，$\lambda=-5$ 的代数重数为2。最小多项式 $m(\lambda)=(\lambda-9)^2(\lambda+5)^2$ 表明，$\lambda=9$ 的Jordan块中最大块大小为2，$\lambda=-5$ 的Jordan块中最大块大小也为2。
公式：特征多项式与最小多项式的关系
提示：注意最小多项式给出了每个特征值对应的最大Jordan块大小。
步骤 2/5
目标：确定每个特征值的Jordan块结构
对于 $\lambda=9$：代数重数3，最大Jordan块大小2，可能的Jordan块组合为：一个2阶块和一个1阶块。对于 $\lambda=-5$：代数重数2，最大Jordan块大小2，故只有一个2阶Jordan块。
提示：Jordan块的大小之和等于代数重数，且最大块不超过最小多项式指数。
步骤 3/5
目标：写出Jordan标准形
因此，Jordan标准形为
$$
J = \begin{pmatrix}
9 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 9 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 9 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -5 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -5
\end{pmatrix}
$$
提示：注意Jordan块的对角线为特征值，次对角线为1。
步骤 4/5
目标：计算特征值9的特征子空间维数
特征值 $\lambda=9$ 的特征子空间维数等于几何重数，即 $\dim\ker(9I-A)$。几何重数等于代数重数减去Jordan块个数。对于 $\lambda=9$，有2个Jordan块，故几何重数 $=3-2=1$。
公式：几何重数 = 代数重数 - Jordan块个数
提示：几何重数即线性无关特征向量的个数，等于Jordan块个数。
步骤 5/5
目标：计算 $r(-5I-A)$
$r(-5I-A)$ 是矩阵 $-5I-A$ 的秩。由于 $\lambda=-5$ 的几何重数为 $\dim\ker(-5I-A)=2-1=1$（因为只有一个Jordan块），所以 $r(-5I-A)=5-1=4$。
公式：秩 = 阶数 - 零度（几何重数）
提示：注意几何重数等于零空间的维数。
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