北京理工大学 2026年高等代数第0题

假设存在 $\alpha \in V$ 使得 $\{\alpha, \mathcal{A}(\alpha), \dots, \mathcal{A}^{n-1}(\alpha)\}$ 是 $V$ 的一组基。则 $\mathcal{A}$ 在这组基下的矩阵是友矩阵，其特征多项式为 $f(\lambda) = \lambda^n - a_{n-1}\lambda^{n-1} - \dots - a_0$，其中 $\mathcal{A}^n(\alpha) = a_0\alpha + a_1\mathcal{A}(\alpha) + \dots + a_{n-1}\mathcal{A}^{n-1}(\alpha)$。由于 $\alpha$ 是循环向量，$\mathcal{A}$ 的极小多项式等于特征多项式。对于任意特征值 $\lambda$，考虑特征子空间 $V_\lambda = \ker(\mathcal{A} - \lambda I)$。若几何重数大于1，则存在两个线性无关的特征向量，但循环向量生成的循环子空间维数为 $n$，而每个特征向量生成一维不变子空间，矛盾。更严格地，由于极小多项式等于特征多项式，每个特征值的代数重数等于其在特征多项式中的重数，且几何重数等于1（因为若几何重数大于1，则极小多项式次数小于 $n$）。故必要性成立。

假设 $\mathcal{A}$ 的每个特征值的几何重数均为1。由于 $\mathbb{C}$ 是代数闭域，$\mathcal{A}$ 的特征多项式可分解为一次因式的乘积。设特征多项式为 $\chi(\lambda) = \prod_{i=1}^k (\lambda - \lambda_i)^{m_i}$，其中 $\lambda_i$ 互异，$\sum m_i = n$。几何重数为1意味着每个特征值 $\lambda_i$ 的特征子空间维数为1，从而每个Jordan块只有一个，即 $\mathcal{A}$ 的Jordan标准形中每个特征值对应一个Jordan块，且该Jordan块的阶数为 $m_i$。因此 $\mathcal{A}$ 的极小多项式为 $\prod_{i=1}^k (\lambda - \lambda_i)^{m_i}$，等于特征多项式。由循环向量定理，$\mathcal{A}$ 有循环向量当且仅当极小多项式等于特征多项式。故存在 $\alpha \in V$ 使得 $\{\alpha, \mathcal{A}(\alpha), \dots, \mathcal{A}^{n-1}(\alpha)\}$ 是 $V$ 的一组基。

综合必要性和充分性，命题得证：存在 $\alpha \in V$ 使得 $\{\alpha, \mathcal{A}(\alpha), \dots, \mathcal{A}^{n-1}(\alpha)\}$ 成为 $V$ 的一组基当且仅当对于 $\mathcal{A}$ 的任一特征值 $\lambda$ 的几何重数为1。