北京科技大学 2024年高等代数第0题

由题意，$\varphi$ 的特征多项式为 $f(\lambda) = (\lambda - \lambda_0)^4$，因此特征值为 $\lambda_0$，代数重数为4。

几何重数 $r = \dim \ker(\varphi - \lambda_0 I)$。设 $d_1 = \dim \ker(\varphi - \lambda_0 I)$，通过计算得 $d_1 = 2$，故几何重数为2，即若当块个数为2。

计算 $d_k = \dim \ker(\varphi - \lambda_0 I)^k$，得到 $d_1=2$，$d_2=3$，$d_3=4$，$d_4=4$。

大小为 $k$ 的若当块个数为 $2d_k - d_{k-1} - d_{k+1}$（约定 $d_0=0$）。计算得：大小为1的块个数 $= 2d_1 - d_0 - d_2 = 4-0-3=1$；大小为2的块个数 $= 2d_2 - d_1 - d_3 = 6-2-4=0$；大小为3的块个数 $= 2d_3 - d_2 - d_4 = 8-3-4=1$；大小为4的块个数 $= 2d_4 - d_3 - d_5 = 8-4-4=0$。因此若当标准形由一个3阶若当块和一个1阶若当块组成。

若当标准形为 $J = \begin{pmatrix} \lambda_0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_0 \end{pmatrix}$，其中左上角3阶若当块，右下角1阶若当块。

取 $v \in \ker(\varphi - \lambda_0 I)^3 \setminus \ker(\varphi - \lambda_0 I)^2$，即 $v$ 满足 $(\varphi - \lambda_0 I)^3 v = 0$ 但 $(\varphi - \lambda_0 I)^2 v \neq 0$。令 $f_1 = (\varphi - \lambda_0 I)^2 v$，$f_2 = (\varphi - \lambda_0 I) v$，$f_3 = v$，则 $f_1, f_2, f_3$ 线性无关且构成3维循环子空间。

取 $w \in \ker(\varphi - \lambda_0 I) \setminus \operatorname{span}\{f_1\}$，即 $w$ 是特征向量且与 $f_1$ 线性无关。令 $f_4 = w$，则 $f_1, f_2, f_3, f_4$ 构成 $V$ 的一组基。

计算 $\varphi$ 在基 $f_1, f_2, f_3, f_4$ 下的作用：$\varphi(f_1) = \lambda_0 f_1$，$\varphi(f_2) = f_1 + \lambda_0 f_2$，$\varphi(f_3) = f_2 + \lambda_0 f_3$，$\varphi(f_4) = \lambda_0 f_4$。因此矩阵为 $\begin{pmatrix} \lambda_0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_0 \end{pmatrix}$。