北京科技大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
2、求从基 $e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}$ 到基 $f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}$ 的过渡矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解过渡矩阵的定义
设 $e_1, e_2, e_3, e_4$ 是 $V$ 的一组基，$f_1, f_2, f_3, f_4$ 是另一组基。过渡矩阵 $P$ 满足：$(f_1, f_2, f_3, f_4) = (e_1, e_2, e_3, e_4) P$。即 $P$ 的第 $j$ 列是 $f_j$ 在基 $e$ 下的坐标向量。
公式：(f_1, f_2, f_3, f_4) = (e_1, e_2, e_3, e_4) P
提示：注意过渡矩阵的列是 $f_j$ 在 $e$ 基下的坐标，而不是行。
步骤 2/6
目标：将 $f_j$ 用 $e$ 基线性表示
对于每个 $j=1,2,3,4$，将 $f_j$ 表示为 $e_1, e_2, e_3, e_4$ 的线性组合：$f_j = a_{1j} e_1 + a_{2j} e_2 + a_{3j} e_3 + a_{4j} e_4$。系数 $a_{ij}$ 构成矩阵 $P$ 的第 $j$ 列。
公式：f_j = \sum_{i=1}^4 a_{ij} e_i
提示：确保每个 $f_j$ 的表示是唯一的，因为 $e$ 是基。
步骤 3/6
目标：写出过渡矩阵 $P$
将系数 $a_{ij}$ 按列排列得到过渡矩阵：$P = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix}$。
公式：P = (a_{ij})
提示：注意下标顺序：$a_{ij}$ 中 $i$ 是行索引，$j$ 是列索引。
步骤 4/6
目标：举例说明（假设具体基）
假设 $e$ 是标准基，$f_1 = e_1 + e_2$, $f_2 = e_2 + e_3$, $f_3 = e_3 + e_4$, $f_4 = e_4$。则 $f_1$ 的坐标为 $(1,1,0,0)^T$，$f_2$ 为 $(0,1,1,0)^T$，$f_3$ 为 $(0,0,1,1)^T$，$f_4$ 为 $(0,0,0,1)^T$。
提示：坐标向量是列向量，注意转置符号。
步骤 5/6
目标：写出示例过渡矩阵
将上述坐标按列排列得：$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：验证：$f_1 = e_1 + e_2$ 对应第一列 $(1,1,0,0)^T$。
步骤 6/6
目标：一般情况下的步骤总结
若题目给出具体基向量，则按上述步骤：1) 将每个 $f_j$ 用 $e$ 基线性表示；2) 提取系数作为列向量；3) 按列组成矩阵 $P$。若 $e$ 是标准基，则 $P$ 的列就是 $f_j$ 的坐标。
提示：注意基的顺序：$e_1,e_2,e_3,e_4$ 和 $f_1,f_2,f_3,f_4$ 的顺序不能颠倒。
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