北京科技大学 2024年高等代数第0题

向量 $\beta$ 能由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，当且仅当存在一组数 $x_1, x_2, x_3$ 使得 $x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 = \beta$。否则，$\beta$ 不能由该组线性表示。

将向量等式转化为线性方程组。设 $\alpha_i = (a_{1i}, a_{2i}, \ldots, a_{mi})^T$，$\beta = (b_1, b_2, \ldots, b_m)^T$，则方程组为： \[ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + a_{m3}x_3 = b_m \end{cases} \]

将方程组的系数矩阵与常数项合并为增广矩阵 $A = [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \mid \beta]$，即： \[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & b_m \end{pmatrix} \]

使用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形或行最简形。例如，通过行交换、倍乘、倍加等操作，使矩阵逐步简化。注意保持变换的等价性。

设系数矩阵 $B = [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3]$，其秩为 $r(B)$；增广矩阵 $A$ 的秩为 $r(A)$。若 $r(B) = r(A)$，则方程组有解，$\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示；若 $r(B) < r(A)$，则方程组无解，$\beta$ 不能由它们线性表示。

若 $r(B) < r(A)$，则方程组无解，因此 $\beta$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示。例如，在行阶梯形中出现形如 $0 = c$（$c \neq 0$）的矛盾方程时，即表明无解。

设 $\alpha_1 = (1,1,0)^T, \alpha_2 = (0,1,1)^T, \alpha_3 = (1,0,1)^T, \beta = (1,2,4)^T$。增广矩阵： \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \end{pmatrix} \] 行变换：$R_2 - R_1$ 得 \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \end{pmatrix} \] $R_3 - R_2$ 得 \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \end{pmatrix} \] $R_3/2$ 得 \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1.5 \end{pmatrix} \] $R_1 - R_3, R_2 + R_3$ 得 \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -0.5 \\ 0 & 1 & 0 & 2.5 \\ 0 & 0 & 1 & 1.5 \end{pmatrix} \] 此时系数矩阵秩为3，增广矩阵秩也为3，方程组有解，实际上 $\beta$ 可表示。但若将 $\beta$ 改为 $(1,2,4)^T$，则最后一行变为 $0=1$，无解。

判断 $\beta$ 能否由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，只需解线性方程组并检查秩。若 $r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = r([\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \mid \beta])$，则可表示；否则不能。