北京科技大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
2、 $\beta$ 可由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 唯一的线性表示，并求出表示式。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立线性方程组
设 $\beta = x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + x_3 \alpha_3$，其中 $\alpha_1 = (1,1,1)^T$, $\alpha_2 = (1,2,3)^T$, $\alpha_3 = (1,3,6)^T$, $\beta = (1,0,1)^T$。代入得线性方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\
x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \\
x_1 + 3x_2 + 6x_3 = 1
\end{cases}
$$
公式：$\beta = x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + x_3 \alpha_3$
提示：注意向量是列向量，方程组的系数矩阵由向量按列组成。
步骤 2/6
目标：写出增广矩阵
将方程组写成增广矩阵形式：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 0 \\
1 & 3 & 6 & 1
\end{pmatrix}
$$
提示：增广矩阵最后一列是常数项，不要混淆。
步骤 3/6
目标：初等行变换（消去第一列）
进行行变换：$r_2 - r_1$, $r_3 - r_1$，得到：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & -1 \\
0 & 2 & 5 & 0
\end{pmatrix}
$$
提示：行变换要同时作用于常数项，注意符号。
步骤 4/6
目标：初等行变换（消去第二列）
进行行变换：$r_3 - 2r_2$，得到：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
$$
提示：注意$r_3 - 2r_2$中$2r_2$要乘以常数项。
步骤 5/6
目标：回代求解
由第三行得 $x_3 = 2$。代入第二行：$x_2 + 2 \times 2 = -1 \Rightarrow x_2 = -5$。代入第一行：$x_1 + (-5) + 2 = 1 \Rightarrow x_1 = 4$。
提示：回代时注意符号，避免计算错误。
步骤 6/6
目标：写出线性表示并判断唯一性
因此，$\beta = 4\alpha_1 -5\alpha_2 + 2\alpha_3$。由于系数唯一确定，故表示唯一。
公式：$\beta = 4\alpha_1 -5\alpha_2 + 2\alpha_3$
提示：唯一性由系数矩阵满秩保证，本题系数矩阵行列式非零。
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