北京科技大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
3、 $\beta$ 可由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示，但是表示式不唯一，并求出其一般表示式。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与条件分析
已知 $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，但表示式不唯一。这意味着向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关，且 $\beta$ 属于该向量组的生成子空间。表示式不唯一的原因是存在非零的线性组合系数使得零向量成立。
提示：注意区分“线性表示”与“线性表示唯一”的条件：表示唯一当且仅当向量组线性无关。
步骤 2/6
目标：构造满足条件的向量组
为了构造一个具体的例子，取 $\alpha_1 = (1,0,0)^T$, $\alpha_2 = (0,1,0)^T$, $\alpha_3 = (1,1,0)^T$。这三个向量线性相关，因为 $\alpha_3 = \alpha_1 + \alpha_2$，且它们张成的空间是二维平面（$z=0$）。取 $\beta = (1,1,0)^T$，显然 $\beta$ 可由它们线性表示。
提示：构造时确保向量组线性相关且 $\beta$ 在生成空间中。
步骤 3/6
目标：验证表示式不唯一
首先，$\beta = \alpha_1 + \alpha_2$，即系数为 $(1,1,0)$。其次，$\beta = \alpha_3$，即系数为 $(0,0,1)$。由于存在两种不同的表示，因此表示式不唯一。
提示：验证时需找到至少两种不同的系数组合。
步骤 4/6
目标：推导一般表示式
设一般表示式为 $\beta = x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + x_3 \alpha_3$。代入向量得：
$$
\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} = x_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + x_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} + x_3\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1 + x_3\\x_2 + x_3\\0\end{pmatrix}
$$
得到方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_3 = 1 \\
x_2 + x_3 = 1
\end{cases}
$$
这是一个含有三个未知数两个方程的线性方程组，解不唯一。
公式：线性方程组 $x_1 + x_3 = 1$, $x_2 + x_3 = 1$
提示：注意方程组中第三个分量恒为零，不提供额外约束。
步骤 5/6
目标：求解方程组得到参数形式
将 $x_3$ 视为自由参数，令 $x_3 = k$，其中 $k$ 为任意实数。则 $x_1 = 1 - k$, $x_2 = 1 - k$。因此一般表示式为：
$$
\beta = (1-k)\alpha_1 + (1-k)\alpha_2 + k\alpha_3
$$
其中 $k \in \mathbb{R}$。
公式：$\beta = (1-k)\alpha_1 + (1-k)\alpha_2 + k\alpha_3$
提示：自由参数的选择不唯一，但通常取其中一个变量的系数作为参数。
步骤 6/6
目标：验证一般表示式
代入 $k=0$ 得 $\beta = \alpha_1 + \alpha_2$；代入 $k=1$ 得 $\beta = \alpha_3$；代入其他 $k$ 值得到不同的表示，例如 $k=2$ 得 $\beta = -\alpha_1 - \alpha_2 + 2\alpha_3$，验证成立。
提示：验证时取两个特殊值确认正确性。
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