北京科技大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
1、 $N(A)$ 为 $\mathbb{R}^{n}$ 的子空间，$R(A)$ 为 $\mathbb{R}^{m}$ 的子空间．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确零空间和列空间的定义
对于矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$，零空间定义为 $N(A) = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid Ax = 0 \}$，列空间（值域）定义为 $R(A) = \{ Ax \mid x \in \mathbb{R}^n \}$。
公式：$N(A) = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid Ax = 0 \}$，$R(A) = \{ Ax \mid x \in \mathbb{R}^n \}$
提示：注意零空间是 $\mathbb{R}^n$ 的子集，列空间是 $\mathbb{R}^m$ 的子集。
步骤 2/8
目标：证明零空间包含零向量
由于 $A \cdot 0 = 0$，所以 $0 \in N(A)$。
公式：$A \cdot 0 = 0$
提示：零向量是任何子空间必须包含的元素。
步骤 3/8
目标：证明零空间对加法封闭
设 $x, y \in N(A)$，则 $Ax = 0$ 且 $Ay = 0$。于是 $A(x+y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0$，所以 $x+y \in N(A)$。
公式：$A(x+y) = Ax + Ay$
提示：利用矩阵乘法的分配律。
步骤 4/8
目标：证明零空间对数乘封闭
设 $x \in N(A)$，$c \in \mathbb{R}$，则 $Ax = 0$。于是 $A(cx) = c(Ax) = c \cdot 0 = 0$，所以 $cx \in N(A)$。
公式：$A(cx) = c(Ax)$
提示：利用矩阵乘法的数乘性质。
步骤 5/8
目标：证明列空间包含零向量
由于 $A \cdot 0 = 0$，所以 $0 \in R(A)$。
公式：$A \cdot 0 = 0$
提示：零向量可以通过取 $x=0$ 得到。
步骤 6/8
目标：证明列空间对加法封闭
设 $u, v \in R(A)$，则存在 $x, y \in \mathbb{R}^n$ 使得 $u = Ax$，$v = Ay$。于是 $u+v = Ax + Ay = A(x+y) \in R(A)$。
公式：$Ax + Ay = A(x+y)$
提示：注意 $x+y$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的向量。
步骤 7/8
目标：证明列空间对数乘封闭
设 $u \in R(A)$，$c \in \mathbb{R}$，则存在 $x \in \mathbb{R}^n$ 使得 $u = Ax$。于是 $cu = c(Ax) = A(cx) \in R(A)$。
公式：$c(Ax) = A(cx)$
提示：注意 $cx$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的向量。
步骤 8/8
目标：总结结论
由子空间的定义（包含零向量、对加法和数乘封闭），$N(A)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间，$R(A)$ 是 $\mathbb{R}^m$ 的子空间。
提示：子空间必须满足三个条件，缺一不可。
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