北京科技大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
2、 $N\left(A^{T}\right)=(R(A))^{\perp},(R(A))^{\perp}$ 表示 $R(A)$ 的正交补空间．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确问题与符号定义
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$R(A) \subseteq \mathbb{R}^m$ 是 $A$ 的列空间，$N(A^T) \subseteq \mathbb{R}^m$ 是 $A^T$ 的零空间。要证 $N(A^T) = (R(A))^\perp$，即证明两个集合相等。
提示：注意 $R(A)$ 是 $\mathbb{R}^m$ 的子空间，$N(A^T)$ 也是 $\mathbb{R}^m$ 的子空间。
步骤 2/5
目标：证明 $N(A^T) \subseteq (R(A))^\perp$
任取 $y \in N(A^T)$，则 $A^T y = 0$。对于任意 $x \in \mathbb{R}^n$，有 $y^T (A x) = (A^T y)^T x = 0^T x = 0$。因此 $y$ 与 $R(A)$ 中任意向量 $Ax$ 正交，故 $y \in (R(A))^\perp$。
公式：$y^T(Ax) = (A^T y)^T x$
提示：注意内积的转置性质：$y^T(Ax) = (A^T y)^T x$。
步骤 3/5
目标：证明 $(R(A))^\perp \subseteq N(A^T)$
任取 $y \in (R(A))^\perp$，则对任意 $x \in \mathbb{R}^n$，有 $y^T (A x) = 0$。即 $(A^T y)^T x = 0$ 对所有 $x$ 成立。
公式：$y^T(Ax) = (A^T y)^T x$
提示：这里利用了上一步的转置恒等式。
步骤 4/5
目标：利用特殊向量 $x = A^T y$ 完成证明
取 $x = A^T y$，代入 $(A^T y)^T x = 0$ 得 $(A^T y)^T (A^T y) = 0$，即 $\|A^T y\|^2 = 0$，故 $A^T y = 0$，即 $y \in N(A^T)$。
公式：$\|A^T y\|^2 = (A^T y)^T (A^T y)$
提示：注意向量范数为0当且仅当向量为零向量。
步骤 5/5
目标：总结结论
由步骤2和步骤4，得 $N(A^T) \subseteq (R(A))^\perp$ 且 $(R(A))^\perp \subseteq N(A^T)$，因此 $N(A^T) = (R(A))^\perp$。
提示：集合相等需证明双向包含。
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