北京科技大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
1、若 $t \mathbf{E}+\mathbf{A}$ 为正定矩阵，求 $t$ 的取值范围．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解正定矩阵的条件
一个实对称矩阵 $\mathbf{M}$ 是正定的当且仅当它的所有特征值都大于零。这里 $\mathbf{M} = t\mathbf{E} + \mathbf{A}$，其中 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，$\mathbf{E}$ 是单位矩阵。
公式：正定矩阵的判别条件：所有特征值 $>0$
提示：注意：正定矩阵必须是实对称的，题目中 $\mathbf{A}$ 是实对称的，因此 $t\mathbf{E}+\mathbf{A}$ 也是实对称的。
步骤 2/5
目标：确定 $t\mathbf{E}+\mathbf{A}$ 的特征值
设 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征值。由于 $\mathbf{E}$ 的特征值全为1，所以 $t\mathbf{E}+\mathbf{A}$ 的特征值为 $t+\lambda_1, t+\lambda_2, \dots, t+\lambda_n$。
公式：若 $\mathbf{A}\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$，则 $(t\mathbf{E}+\mathbf{A})\mathbf{x} = (t+\lambda)\mathbf{x}$
提示：注意：特征值平移性质只适用于相同特征向量，这里 $\mathbf{E}$ 与 $\mathbf{A}$ 可交换，所以特征向量相同。
步骤 3/5
目标：建立正定条件
$t\mathbf{E}+\mathbf{A}$ 正定当且仅当所有特征值 $t+\lambda_i > 0$，即 $t > -\lambda_i$ 对所有 $i=1,\dots,n$ 成立。
公式：$t+\lambda_i > 0 \iff t > -\lambda_i$
提示：注意：不等号方向，不要弄反。
步骤 4/5
目标：转化为关于最小特征值的条件
条件 $t > -\lambda_i$ 对所有 $i$ 成立等价于 $t > \max\{-\lambda_i\} = -\min\{\lambda_i\}$。令 $\lambda_{\min} = \min\{\lambda_i\}$，则 $t > -\lambda_{\min}$。
公式：$\max\{-\lambda_i\} = -\min\{\lambda_i\}$
提示：注意：$\max\{-\lambda_i\}$ 是 $-\lambda_i$ 的最大值，即 $\lambda_i$ 最小值的相反数。
步骤 5/5
目标：给出最终取值范围
因此，$t$ 的取值范围是 $t > -\lambda_{\min}$，其中 $\lambda_{\min}$ 是 $\mathbf{A}$ 的最小特征值。如果 $\mathbf{A}$ 未具体给出，则答案用 $\lambda_{\min}$ 表示。
公式：$t > -\lambda_{\min}$
提示：注意：如果 $\mathbf{A}$ 是正定矩阵，则 $\lambda_{\min}>0$，那么 $t$ 可以取负数，但必须大于 $ -\lambda_{\min}$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。