北京科技大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
2、求正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q^{T} A Q$ 为对角矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出矩阵并求特征值
给定矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$。解特征方程 $|A - \lambda I| = 0$：
$$
\begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 2 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)^2 - 4 = \lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0,
$$
解得特征值 $\lambda_1 = 3$，$\lambda_2 = -1$。
公式：$|A - \lambda I| = 0$
提示：计算行列式时注意符号，避免展开错误。
步骤 2/6
目标：求特征值3的特征向量
对于 $\lambda_1 = 3$，解 $(A - 3I)\mathbf{x} = 0$：
$$
\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix},
$$
得 $x_1 = x_2$，取基础解系 $\mathbf{v}_1 = (1, 1)^T$。
公式：$(A - \lambda I)\mathbf{x} = 0$
提示：解齐次线性方程组时，注意自由变量的选取，确保向量线性无关。
步骤 3/6
目标：单位化特征向量1
将 $\mathbf{v}_1 = (1, 1)^T$ 单位化：$\|\mathbf{v}_1\| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$，得单位向量 $\mathbf{u}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)^T$。
公式：$\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}$
提示：单位化时注意模长计算，不要忘记分母的根号。
步骤 4/6
目标：求特征值-1的特征向量
对于 $\lambda_2 = -1$，解 $(A + I)\mathbf{x} = 0$：
$$
\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix},
$$
得 $x_1 = -x_2$，取基础解系 $\mathbf{v}_2 = (1, -1)^T$。
公式：$(A - \lambda I)\mathbf{x} = 0$
提示：注意特征值代入时符号正确，避免计算错误。
步骤 5/6
目标：单位化特征向量2
将 $\mathbf{v}_2 = (1, -1)^T$ 单位化：$\|\mathbf{v}_2\| = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$，得单位向量 $\mathbf{u}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1)^T$。
公式：$\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}$
提示：注意负号在单位化后保留。
步骤 6/6
目标：构造正交矩阵并验证
令 $Q = (\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$，则 $Q$ 为正交矩阵（列向量单位正交）。计算 $Q^T A Q$：
$$
Q^T A Q = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix},
$$
即对角矩阵。
公式：$Q^T A Q = \Lambda$
提示：验证 $Q^T Q = I$ 确保正交性；对角矩阵的对角元应与特征值对应。
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